淡化形式 注重实质

许楠烜

关注这个课题缘于笔者最近参加的浙江省新世纪小学数学教学观摩研讨会，会上有三位教师上了“体积与容积”一课，特别是浙江省数学教研员斯苗儿老师临时指导陈新福老师的同课异构，从本质属性上建构体积与容积的概念，令人耳目一新。简约的课堂、朴实的教学风格，犹如一股清泉，缓缓沁入教师的心底，悄悄改变着我们的数学课堂。回来细品教材，回味当时的教学细节，联系教学实际，笔者对“体积与容积”概念教学有所感悟。

一、重视直觉体验，淡化概念描述形式

北师大五年级下册教材这样定义“体积”：“物体所占空间的大小，叫做物体的体积。”因此有的教师认为，要理解体积的含义就必须要理解什么是“空间”。于是教学大多围绕“空间”而展开。如以下教学片段就非常典型。

教师出示大小相同的两个量杯，在两个量杯中加入同样多的水，将土豆和红薯分别放入两个量杯中。

师：土豆和红薯放入水中，水面会有什么变化？

生：水面上升了？

师：为什么会上升？

生：……水被挤上来了。

师：嗯，也就是土豆和红薯占了水的空间。

师：哪个大？

生：红薯大。

师：为什么？

生：因为放红薯的杯子中水面上升多一些。

师：红薯所占的空间大，土豆所占的空间小。因此我们说红薯的体积大，土豆的体积小。

接着教师出示一块海绵，用手紧握然后慢慢松开，海绵渐渐变大。

师：海绵体积有什么变化？

生：海绵的体积慢慢变大。

师：海绵所占的空间变大，所以体积也变大了。

生：老师，海绵的体积不变，因为海绵里面有空气。

教师再演示，追问：海绵变大了吗？

生：海绵的体积没变，只是它的密度变了。

在这一教学片段中，教师试图通过“排水实验”让学生直观感知抽象的“空间”，帮助学生认识“体积”。学生通过观察感知土豆和红薯占了水的有限空间，使水面上升。可是离开了具体的“有限空间”情境，学生就会觉得茫然，不知道“海绵”又占了哪个的空间，更不懂得该如何来衡量大小。过早运用“排水法”来衡量“所占空间大小”往往会让学生产生疑惑。课堂上学生出现“海绵里面充满了空气”“沙子之间存在空隙”甚至“物体分子之间存在空隙”的例子屡见不鲜，最终学生不知“体积”为何物。其实“空间”本身就是一个抽象的概念，要让学生理解什么是“空间”可能比“体积”本身更加困难。“空间大小”是人的直观感知，“体积”也是人的直观感知。五年级的学生对“物体占据空间”其实早有接触，在小学三年级上册科学《空气占据空间吗》一课中就已提出：空气和水、石头一样，可以占据空间。从“体积与容积”相关教材的呈现内容来看，也是默认学生已初步掌握体积的含义。过分拘泥于定义本身，关注何谓“所占”、何谓 “大小”，反而会把本来简单明白的事情搞复杂了。张奠宙教授在《从体积的定义说起》一文中也这样写道：“小学数学的体积教学，不要在‘什么是体积上做文章。要在体积所具有的特征上下功夫，力求触及数学的本质，增进五年级学生对体积意义的理解。”他还认为，要建立体积的概念，“应该从度量入手，体积是对‘三维物体大小的一种度量，和线段的长度、平面图形的面积加以对照。就能增加对‘体积的理解。”正如陈新福老师在浙江省新世纪小学数学教学观摩研讨会上对“体积与容积”是这样教学的。

师：同学们，听说过体积吗？

生：听说过

师：你知道什么是体积吗？请举例说说。

生：我知道桌子有体积，黑板有体积；篮球有体积……

生：每一样物体都有体积。

师：请自学课本41-42页，看看书上是怎么说的。有疑问的请提出来？

师：篮球有体积吗？什么是篮球的体积？

生：篮球外表。

生：篮球的里面。

生：不对，外表是篮球的表面积，应该是整个篮球所占的空间。

师：什么是乒乓球的体积。

生：整个乒乓球所占空间的大小。

生：篮球的体积大，乒乓球的体积小。

师：你还能举出别的例子吗？

生：铅笔盒的体积大，铅笔的体积小。

师：为什么？

生：因为铅笔能放进铅笔盒里。

师：什么是砖块的体积？

……

人的直觉是很宝贵的，充分运用直觉学习数学是小学数学学习的一条准则。陈老师的教学从学生已有的生活经验入手，没有纠结“空间”这一概念，而是运用视觉感官，通过看一看、说一说，感知不同形状的物体所占的空间的大小。通过面与体的直观比较，让学生理解体积，突出了“体积”的本质属性，让学生真真切切体会到什么才是物体的体积。教学简简单单，学生明明白白。

二、注重联系，经历概念同化过程

容积是体积的下位概念，两个概念既有联系，又有区别，容积概念建立主要是概念同化的过程。但在教学中许多老师喜欢把“冰箱”等作为认识体积和容积的生活素材，经常会陷入体积与容积的大小比较误区。如下面这个比较常见的教学片段。

师：在我们身边有许多物体既有体积又有容积，冰箱的体积与容积有什么不同？

生：冰箱的体积是指冰箱所占的空间大小，冰箱的容积是指冰箱所容纳物体的体积。

生：体积是从外面去测量，容积要从里面去测量。

师：冰箱的体积比容积大吗？

生：冰箱的体积肯定比容积大，一看就知道。

生：冰箱的体积一定比容积大，因为它有厚度。

师：大家同意吗？

生：我不同意。冰箱门打开了，它的体积就不一定比容积大了。

师：为什么？endprint

生：门打开了，空气进入，里面就不能算冰箱的体积了？

师：你的发现太有价值了。

冰箱的体积比容积大，笔者做过调查，大约80%的教师都这样认为。少数教师也出现案例中的情况，认为打开冰箱的门就不能确定哪个大哪个小了。笔者认为体积和容积虽然联系紧密，但有很大的区别，它们分属两个不同的概念。“体积”指物质或物体所占空间的大小，“容积”指容器所能容纳物体的体积。我们一般只存在同概念之间相比较，即体积之间或容积之间的大小比较。体积和容积的比较不但不能促进学生对体积与容积概念的理解，反而会误导学生产生概念混淆，增加学习负担。其实关于这两者的概念教学，不妨可以从两个概念的关键特征入手，通过概念同化的方式来理解概念。比如下面这个教学片段就是以此着手的。

课件出示一个长方体木块。

师：我们可以怎样进行测量这长方体木块的体积？

生：我们可以测量它的长、宽、高。

师：这个木块有容积吗？

生：木块没有容积，木块的容积是0。

师：怎样把容积是0的木块变成有容积呢？

生：从木头的表面朝里面挖一个洞。

生：要能容纳东西。

课件演示在长方体木块的中间挖出一个小长方体。

师：我们怎样才能知道木块的容积的大小？

生：我们可以从里面测量它的长、宽、高。

课件演示：在长方体木块的中间继续挖出一个大长方体。

师：你发现了什么？

生：我发现木块里面的长、宽、高增加了，木块的容积变大了。

生：我发现木块本身的体积变小了，因为中间部分被挖掉了。

概念同化是通过学习已经形成的概念来掌握概念。案例中教师从长方体木块的体积入手，引导学生经历了容积“无中生有”的过程，让学生体会体积与容积的联系和区别，感悟体积和容积变与不变的辩证关系，掌握“容积”概念，加深学生对“体积与容积”概念的理解。

三、深化概念，积累活动经验

在认识体积概念时，教材中安排了用排水法比较土豆和红薯的大小的实验。五年级教师用书上提到实验的目的“是让学生通过观察，说明这两个物体所占空间大小不一样。在学生有了比较充分的感性体验上，再揭示体积的概念。”观察实验是体积概念建立过程必不可少的活动，借助透明玻璃杯和水位的变化，可以在一定程度上将抽象的空间形象化，能帮助学生提升对“物体占空间大小”的感悟。但是这不能作为实验的实质。那么实验的实质是什么呢？它的价值又在哪里？下面陈新福老师的教学片段会对我们有所启示。

师：土豆和红薯的体积谁大？请你设计一个实验。

生：先找到两个一模一样的杯子，然后放入同样多的水，最后把土豆和红薯放进杯子中。看哪杯水面高。

师：大家同意吗？

生：同意。

师生做演示实验，土豆放在1号杯，红薯放在2号杯。

师：谁的体积大？

生：因为2号杯的水面高，所以红薯的体积大。

师：为什么？

生：水的体积不变。因为红薯加水的体积大于土豆加水的体积，所以红薯的体积比土豆大。

生：1号杯水上升部分的体积就是土豆的体积，2号杯水上升部分的体积就是红薯的体积。2号杯上升得多，所以红薯体积大。

师：说得真好，那么水上升部分是一个什么形状？

生：是一个圆柱体。

师：可以看作“两个水圆柱体”，只要比较两个水圆柱体的大小就可以了。如果把它们放入同样的方形水杯中，上升部分的水又是什么形状？

生：长方体。

笔者认为，“排水法”实验的真正价值是一种数学转化策略体验，是数学活动经验的积累。把原本直接比较体积大小有困难的问题，转化为比较水的体积，它的实质是数学的“等量代换”思想。数学上求体积的核心是“计算”。在教学时教师不应只停留在观察水面高低的表面上，而应该引导学生进行数学的思考，经历观察、猜测、推理，探究解决问题的策略，从而掌握数学思想，积累数学活动经验。等量代换的思想在教材练习中也有所体现（如下图）。物体的等积变形都可以运用“转化策略”来阐释。通过这样的练习，让学生对体积概念有进一步的消化与整理的过程，知识结构的稳定性得到了保障。同时又积累了解决问题的经验。

总之，概念的定义是重要的，但不是所有概念的定义都重要。体积是非常原始的概念，在小学阶段我们的教学是要帮助学生理解体积的特征，应淡化形式、注重实质。

（浙江省浦江县教育研究与教师培训中心 322200）endprint

生：门打开了，空气进入，里面就不能算冰箱的体积了？

师：你的发现太有价值了。

冰箱的体积比容积大，笔者做过调查，大约80%的教师都这样认为。少数教师也出现案例中的情况，认为打开冰箱的门就不能确定哪个大哪个小了。笔者认为体积和容积虽然联系紧密，但有很大的区别，它们分属两个不同的概念。“体积”指物质或物体所占空间的大小，“容积”指容器所能容纳物体的体积。我们一般只存在同概念之间相比较，即体积之间或容积之间的大小比较。体积和容积的比较不但不能促进学生对体积与容积概念的理解，反而会误导学生产生概念混淆，增加学习负担。其实关于这两者的概念教学，不妨可以从两个概念的关键特征入手，通过概念同化的方式来理解概念。比如下面这个教学片段就是以此着手的。

课件出示一个长方体木块。

师：我们可以怎样进行测量这长方体木块的体积？

生：我们可以测量它的长、宽、高。

师：这个木块有容积吗？

生：木块没有容积，木块的容积是0。

师：怎样把容积是0的木块变成有容积呢？

生：从木头的表面朝里面挖一个洞。

生：要能容纳东西。

课件演示在长方体木块的中间挖出一个小长方体。

师：我们怎样才能知道木块的容积的大小？

生：我们可以从里面测量它的长、宽、高。

课件演示：在长方体木块的中间继续挖出一个大长方体。

师：你发现了什么？

生：我发现木块里面的长、宽、高增加了，木块的容积变大了。

生：我发现木块本身的体积变小了，因为中间部分被挖掉了。

概念同化是通过学习已经形成的概念来掌握概念。案例中教师从长方体木块的体积入手，引导学生经历了容积“无中生有”的过程，让学生体会体积与容积的联系和区别，感悟体积和容积变与不变的辩证关系，掌握“容积”概念，加深学生对“体积与容积”概念的理解。

三、深化概念，积累活动经验

在认识体积概念时，教材中安排了用排水法比较土豆和红薯的大小的实验。五年级教师用书上提到实验的目的“是让学生通过观察，说明这两个物体所占空间大小不一样。在学生有了比较充分的感性体验上，再揭示体积的概念。”观察实验是体积概念建立过程必不可少的活动，借助透明玻璃杯和水位的变化，可以在一定程度上将抽象的空间形象化，能帮助学生提升对“物体占空间大小”的感悟。但是这不能作为实验的实质。那么实验的实质是什么呢？它的价值又在哪里？下面陈新福老师的教学片段会对我们有所启示。

师：土豆和红薯的体积谁大？请你设计一个实验。

生：先找到两个一模一样的杯子，然后放入同样多的水，最后把土豆和红薯放进杯子中。看哪杯水面高。

师：大家同意吗？

生：同意。

师生做演示实验，土豆放在1号杯，红薯放在2号杯。

师：谁的体积大？

生：因为2号杯的水面高，所以红薯的体积大。

师：为什么？

生：水的体积不变。因为红薯加水的体积大于土豆加水的体积，所以红薯的体积比土豆大。

生：1号杯水上升部分的体积就是土豆的体积，2号杯水上升部分的体积就是红薯的体积。2号杯上升得多，所以红薯体积大。

师：说得真好，那么水上升部分是一个什么形状？

生：是一个圆柱体。

师：可以看作“两个水圆柱体”，只要比较两个水圆柱体的大小就可以了。如果把它们放入同样的方形水杯中，上升部分的水又是什么形状？

生：长方体。

笔者认为，“排水法”实验的真正价值是一种数学转化策略体验，是数学活动经验的积累。把原本直接比较体积大小有困难的问题，转化为比较水的体积，它的实质是数学的“等量代换”思想。数学上求体积的核心是“计算”。在教学时教师不应只停留在观察水面高低的表面上，而应该引导学生进行数学的思考，经历观察、猜测、推理，探究解决问题的策略，从而掌握数学思想，积累数学活动经验。等量代换的思想在教材练习中也有所体现（如下图）。物体的等积变形都可以运用“转化策略”来阐释。通过这样的练习，让学生对体积概念有进一步的消化与整理的过程，知识结构的稳定性得到了保障。同时又积累了解决问题的经验。

总之，概念的定义是重要的，但不是所有概念的定义都重要。体积是非常原始的概念，在小学阶段我们的教学是要帮助学生理解体积的特征，应淡化形式、注重实质。

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生：门打开了，空气进入，里面就不能算冰箱的体积了？

师：你的发现太有价值了。

冰箱的体积比容积大，笔者做过调查，大约80%的教师都这样认为。少数教师也出现案例中的情况，认为打开冰箱的门就不能确定哪个大哪个小了。笔者认为体积和容积虽然联系紧密，但有很大的区别，它们分属两个不同的概念。“体积”指物质或物体所占空间的大小，“容积”指容器所能容纳物体的体积。我们一般只存在同概念之间相比较，即体积之间或容积之间的大小比较。体积和容积的比较不但不能促进学生对体积与容积概念的理解，反而会误导学生产生概念混淆，增加学习负担。其实关于这两者的概念教学，不妨可以从两个概念的关键特征入手，通过概念同化的方式来理解概念。比如下面这个教学片段就是以此着手的。

课件出示一个长方体木块。

师：我们可以怎样进行测量这长方体木块的体积？

生：我们可以测量它的长、宽、高。

师：这个木块有容积吗？

生：木块没有容积，木块的容积是0。

师：怎样把容积是0的木块变成有容积呢？

生：从木头的表面朝里面挖一个洞。

生：要能容纳东西。

课件演示在长方体木块的中间挖出一个小长方体。

师：我们怎样才能知道木块的容积的大小？

生：我们可以从里面测量它的长、宽、高。

课件演示：在长方体木块的中间继续挖出一个大长方体。

师：你发现了什么？

生：我发现木块里面的长、宽、高增加了，木块的容积变大了。

生：我发现木块本身的体积变小了，因为中间部分被挖掉了。

概念同化是通过学习已经形成的概念来掌握概念。案例中教师从长方体木块的体积入手，引导学生经历了容积“无中生有”的过程，让学生体会体积与容积的联系和区别，感悟体积和容积变与不变的辩证关系，掌握“容积”概念，加深学生对“体积与容积”概念的理解。

三、深化概念，积累活动经验

在认识体积概念时，教材中安排了用排水法比较土豆和红薯的大小的实验。五年级教师用书上提到实验的目的“是让学生通过观察，说明这两个物体所占空间大小不一样。在学生有了比较充分的感性体验上，再揭示体积的概念。”观察实验是体积概念建立过程必不可少的活动，借助透明玻璃杯和水位的变化，可以在一定程度上将抽象的空间形象化，能帮助学生提升对“物体占空间大小”的感悟。但是这不能作为实验的实质。那么实验的实质是什么呢？它的价值又在哪里？下面陈新福老师的教学片段会对我们有所启示。

师：土豆和红薯的体积谁大？请你设计一个实验。

生：先找到两个一模一样的杯子，然后放入同样多的水，最后把土豆和红薯放进杯子中。看哪杯水面高。

师：大家同意吗？

生：同意。

师生做演示实验，土豆放在1号杯，红薯放在2号杯。

师：谁的体积大？

生：因为2号杯的水面高，所以红薯的体积大。

师：为什么？

生：水的体积不变。因为红薯加水的体积大于土豆加水的体积，所以红薯的体积比土豆大。

生：1号杯水上升部分的体积就是土豆的体积，2号杯水上升部分的体积就是红薯的体积。2号杯上升得多，所以红薯体积大。

师：说得真好，那么水上升部分是一个什么形状？

生：是一个圆柱体。

师：可以看作“两个水圆柱体”，只要比较两个水圆柱体的大小就可以了。如果把它们放入同样的方形水杯中，上升部分的水又是什么形状？

生：长方体。

笔者认为，“排水法”实验的真正价值是一种数学转化策略体验，是数学活动经验的积累。把原本直接比较体积大小有困难的问题，转化为比较水的体积，它的实质是数学的“等量代换”思想。数学上求体积的核心是“计算”。在教学时教师不应只停留在观察水面高低的表面上，而应该引导学生进行数学的思考，经历观察、猜测、推理，探究解决问题的策略，从而掌握数学思想，积累数学活动经验。等量代换的思想在教材练习中也有所体现（如下图）。物体的等积变形都可以运用“转化策略”来阐释。通过这样的练习，让学生对体积概念有进一步的消化与整理的过程，知识结构的稳定性得到了保障。同时又积累了解决问题的经验。

总之，概念的定义是重要的，但不是所有概念的定义都重要。体积是非常原始的概念，在小学阶段我们的教学是要帮助学生理解体积的特征，应淡化形式、注重实质。

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