倡导数学学习中的文化渗透

2014-08-12郜舒竹贾小丽

教学月刊·小学数学 2014年8期

郜舒竹+贾小丽

汉字和成语是汉语文化的显著标志，数学中的术语都是借助汉语中的字或词所表达的，把汉字中所隐含的字理挖掘出来，用于对数学术语的解读，不仅是对汉字文化的一种认识与理解，同时能够沟通术语的数学意义与一般意义的联系，有益于对数学概念的理解。许多成语中都包含有数学的意义，用数学的语言解读成语同样有益于对数学内容的理解。

汉字的发展源远流长，其字义随人类社会的发展而不断变化。一个汉字，不管它现在包含了多少义项，但在造字之初，应当有一个原始义，这个原始义，即该字的“本义”。[1]一个字的本义是其引申义的基础，是其诸多引申义共有的“根”。要把握某字的诸多义项，首先要把握该字的本义，进而沟通引申义与本义的联系。下面就对“数与代数”领域的一些数学术语进行讨论。

一、与“数”有关的术语

“因数”与“倍数”是两个具有相对意义的概念。“倍”的金文是“”，左边是“人”，右边是“咅”，表示否定的意思，合起来是“背过面”的意思。[2]其造字本义是“背向”，《说文解字·人部》解释为：“倍，反也。”也是背向的意思。一正一背则有两面，故引申为增加跟原数相等的数。这样，“倍”的本义便和数学含义“加倍”建立了联系。《算法统宗》解释为：“倍，加上本数也。”[3]这和现在的意思是相同的，如5的倍数有5、10、15、20等，“事倍功半”中的“倍”和倍数的“倍”意思相同。

“因”的来历和“乘”密不可分。在古筹算中，无论乘数是一位或多位，都称为乘法。但在进行多位数的乘法时，需要排列、调整上中下三层算筹，计算过程极为繁复。隋唐时期，出现了一种以一位乘法代替多位乘法的新的计算方法，如当乘数是42时，把42分解为6×7，先用6乘，再用7乘。宋朝算学家将这种方法称为“重因”，[4]6、7也就称为因数或因子。为什么要用“因”来命名？明代程大位说：“乘者，以数生数也。数不能自生，相得乃生，故亦曰因。”如27乘5必然产生一个新数，而产生新数的主要条件是5，所以把5叫作“因”。此外，“因”的甲骨文是“”，[5]像一个人躺在席子上，席子常供人坐卧，故引申为凭借，又引申为缘故、原因。《现代汉语词典》对“因”的解释为：“原因（跟‘果相对）”，可理解为5是27×5产生一个新的结果的原因。《辞海》解释为：“因，佛教名词，佛教常以事物相互间的关系来说明它们生起和变化的现象，其中以事物生起或者坏灭的主要条件叫因。”这和程大位解释的十分吻合。“事出有因”以及“前因后果”中的“因”和因数的“因”意思相近。

再来看看“奇数”与“偶数”。“奇”是一个多音字，有“qí”和“jī”两个读音。学生熟悉的读音是“qí”，熟悉的意思是与众不同、出人意料，如“奇异、奇特、奇怪”等词语。而对于“奇数”中的“奇”的理解存在困难。“奇”的篆文是“”，读作“jī”，上面是“大”，是正面站立的“人”的象形，下面是“可”，是用棍支撑的意思，合起来表示拄棍一只脚站立的瘸子的意思。[6]由此可见，“奇”原始的读音为“jī”，本义是人用一只脚站立，也就是单脚站立，引申为“单数”，这就和数学中的“奇数”建立起了联系。

偶数中的“偶”是从“耦”通假过来的。《说文解字·耒部》解释为：“耦，耕广五寸为伐，二伐为耦。”《论语·微子》中有：“长沮、桀溺耦而耕。”意思是名叫长沮、桀溺的两个人一块耕田。即最初的意思是二人为耦，后来引申为“成对、双数”。《鹖冠子·能天》：“奇耦，数也，不可增减也。”因此，偶数也叫作双数，与单数“奇数”相对。

类似的概念还有“质数”。质数又叫素数。“素”本义为没有染色的丝绸，引申为白色或单纯的颜色，进而演变为构成事物的最基本的成分，如元素、因素等名词均源于此。“质”有单纯、本质的意思，“质”和“素”在意思上是相通的。凡是大于1的整数中，除了1和它本身外没有其他因数的数叫质数，意思是质数（素数）是一种结构单纯的正整数。凡是大于1的整数中，除了1和它本身外还有其他因数的叫合数，合数是一种由结构单纯的正整数复合而成的正整数。

二、与“运算”有关的术语

加法的结果为什么叫作“和”，而不是“合”？加法是将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算，似乎使用“合”更为贴切。“和”的金文是“”，[7]左面是“龠”，是一种由不同音高的管子有序排列而成的乐器排笛，右面是“禾”，表示吹乐器发出“和和”的声音。它最初的意思是排笛的不同声部协调共振，音乐和谐，也就是多种声音听起来就像一个声音。由此推断“和”是两个或多个在一起就像一个的意思，这与数学中加法的意思相吻合。而与之同音的“合”，其甲骨文是“”，[8]上部是一个圆锥形的盖子，下部是一个圆形的容器，一盖一底，就为一合。其最初的意思是扣合、闭合，后来才引申为现在的聚合、会合。

减法的结果为什么叫作“差”？“减”的意思是“除去、扣除，使变少”。“差”的金文是“”，[9]上面“”是谷穗的意思，中间“”是抓的意思，下面“”代指器具。本义是手持禾谷在脱粒器具上搓转，使谷子脱粒。其过程也就是除去禾谷上的谷粒，使其变少。这和“减”的意思相吻合。

乘法的结果为什么叫“积”？“乘”的甲骨文是“”，[10]上边是“人”，下边是“木”，合起来表示人站在高高的树上，引申为“升高”的意思。“积”本义是将收割的庄稼堆放在一起。《说文解字》中对“积”的解释为：“积，聚也。”因此，“积”有由少到多、由小到大的量变。而粮食堆放的过程也就是由少到多逐渐升高的，这样“积”就与“乘”升高的意思联系起来了。

除法和乘法为什么互为逆运算？《说文解字》对“除”的解释为：“除，殿阶也。”这是作名词讲，意为屋舍门前的台阶。作为动词的意思是去掉、删去。珠算中最常用的口诀“三下五除二”“四下五除一”中的“除”字也是减去的意思。《算法统宗》解释为：“除，减少也。”[11]因此除法可以理解为逐步减少，与乘法的逐渐升高是一个相反的过程，所以说乘、除是一种互逆运算。

除法的结果为什么叫“商”？《集韵·阳韵》：“商，刻也。”《说文解字》：“商，从外知内也。”《正字通·口部》：“商乃漏箭所刻之处。”[12]由此看出，商的本义是古代滴漏上计时的刻度。《说文解字》：“漏，以铜受水，刻节，昼夜百刻。”漏的意思是，用铜壶盛水，在铜壶上刻上滴水进度标记，一个昼夜的时间长度（24小时），在铜壶上对应为一百个刻写标记（即每一个刻写标记对应14.4分钟），以此计时。由此可知，每支刻箭一百度，每一度都是相等的，等于说把一支刻箭用一百来除，得出每一度的长度，这就叫商。算术中除法运算的得数叫商，是由漏箭的刻度引申而来。

三、“成语”的数学解读

成语是固定词组的一种，它言简意赅，是文学语言的瑰宝，同时也含有大量数学的内容。比如“半斤八两”，古时“1斤=16两”，所以半斤正好等于八两，这里的“半”也就是分数的意思。

成语“四面八方”，和数学中的“位置和方向”有关，四面指的是前、后、左、右，而八方指的是东、西、南、北、东南、东北、西南、西北；再比如成语“九死一生”，和“分数、小数、百分数”有关联，表示生还的可能性为（分数表示）、0.1（小数表示）、10%（百分数表示），死亡的可能性为、0.9、90%，因此这个成语表达的意思是经历很大危险而幸存。成语“百发百中”，和“百分数”有关，说明命中的概率是100%，也比喻做事有充分把握。成语“千载一时”，一千年才有这么一个时机，发生的可能性为或0.001、0.1%，概率是非常小的，因此用以形容机会极为难得。成语“三头六臂”，用比的语言描述头和胳膊这两个数量的比是3∶6=1∶2，也可以描述为胳膊是头数量的2倍，头是胳膊数量的，这是从“倍与率”角度理解的。类似的成语还有：一刀两断、两面三刀、五光十色、六亲不认、七上八下、八面玲珑、十室九空、万无一失、亿万斯年等等。

有些成语还生动地反映出了数学规律，比如“僧多粥少”可用于理解“同分子分数的大小比较”，粥的总量是一定的，当人数越多，那么每人分得的粥就越少，也就是分子一定，分母越大，这个分数值就越小。

“水中捞月”“拔苗助长”“刻舟求剑”表示不可能发生的事件，“守株待兔”表示可能发生的事件，“瓮中捉鳖”与“树倒猢狲散”表达的是必然事件，这些成语和数学中的“概率（可能性）”可以建立起联系。

“失之毫厘，谬以千里”这一成语中的“毫”和“厘”是两种极小的长度单位，按照今天的度量标准，1尺≈0.333米，而1尺=1000厘=10000毫，所以1厘≈0.000333米，1毫≈0.0000333米。这个成语的意思是开始的时候只相差一点点，结果却相差千里。形容开始稍微有一点差错，结果会造成很大的错误，也由此体现细节的重要性。此外，“一失足成千古恨”也暗含这样的意思。

以上内容实际上是从语文的视角看数学课程内容，不仅体现数学课程内容的文化性，也可以促进数学和语文学科间的整合，实现《义务教育数学课程标准（2011年版）》总目标中提出的使学生“体会数学与其他学科之间的联系”，有助于开阔学生的眼界，启发思维，使学生从多个角度去思考问题，提高学生科学和人文的综合素养。

参考文献：

[1] 周克庸. 汉字文字学[M]. 贵阳：贵州人民出版社，2009：249.

[2] 崔增亮，张秀华，张国龙. 字源识字教学手册[M]. 武汉：湖北少年儿童出版社，2011：30.

[3] 梅荣照，李兆华. 算法统宗校释[M]. 合肥：安徽教育出版社，1990：67.

[4] 邵启昌. 中国数学若干概念汉语词义研究[J]. 四川师范学院学报（自然科学版），1998，19（2）.

[5] 金文伟，曾红，温莉. 汉字教学常用字形义解析[M]. 北京：中国财富出版社，2012：108.

[6] 谷衍奎. 汉字源流字典[M]. 北京：华夏出版社，2003：340-341.

[7] 同[2]：282.

[8] 同[2]：280.

[9] 同[6]：492.

[10] 同[6]：562.