关于一类半环上的格林关系的若干研究

练利锋, 任苗苗, 陈益智

(1.西北大学数学学院,陕西 西安 710127;2.广东惠州学院数学系,广东 惠州 516007)

关于一类半环上的格林关系的若干研究

练利锋1, 任苗苗1, 陈益智2

(1.西北大学数学学院,陕西 西安 710127;2.广东惠州学院数学系,广东 惠州 516007)

研究了加法半群是带,乘法半群是完全正则半群的半环上的格林关系,给出了是同余关系的充分必要条件,证明了由这些同余关系所决定的半环类都是半环簇,并给出了这些半环簇的积分解.

半环;簇;同余;格林关系

1 引言及预备知识

设(S,·)是半群,若S的每个元素都是完全正则元(即对任意的a∈S,若存在x∈S使得a=axa且ax=xa)则称S是完全正则半群.文献[1]深入研究了完全正则半群,并从幂等元的角度对完全正则半群进行了分类.完全正则半群的每个H-类都是群(见文献[2-3]), Ha表示a所在的H-类,a0表示群Ha的单位元.

设(S,+,·)是(2,2)-型代数,其中“+”和“·”是二元运算.若S满足下列条件: (1)(S,+)和(S,·)是半群;

(2)(S,+,·)满足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz;

则称(S,+,·)是半环.格林关系在半群理论发展过程中扮演着非常重要的角色,因此对格林关系的研究是有意义的.从代数角度来说,半环可以看做是由分配律联系着的同一非空集合上的两个半群,而半环的乘法半群和加法半群都有各自的格林关系,因此对半环的乘法半群和加法半群的格林关系的研究也是很有必要的.文献[4-8]对幂等元半环进行了深入细致的研究,并借助幂等元半环的格林关系研究了幂等元半环簇的L-子簇和D-子簇(见文献[5-6]),得到了许多重要结论.

设S是半环,若S满足附加恒等式:则对任意的 a∈S,由aan−2a=a且 aan−2=an−1=an−1a,可知 (S,·)是完全正则半群.因此将满足 (1),(2),(3)这三个附加恒等式的所有半环作成的簇记为 ¯CR,并将(S,+)上的格林L(R,D)关系记为(S,·)上的格林L(R,D)关系记为本文主要研究中半环上的格林关系,并给出下列各种关系的刻画,证明了由这些关系所决定的半环簇都是的子簇,最后通过积得到了这些子簇之间的关系:

由文献[1]可知,任一完全正则半群S都是完全单半群的半格S=(Y,Sα),其中Y与S/J同构,Sα是S的J−类.且有

引理 1.1[1]设S=(Y,Sα)是完全正则半群,a∈Sα,b∈Sβ,其中α≤β,则有:

(i)a0=(aba)0;(ii)a L ba,a R ab;(iii)a=a(ba)0=(ab)0a.

引理 1.2[1]设(S,·)是完全正则半群,则D=J是S上的同余关系.

引理 2.1设则是S上的同余关系.

证明显然是(S,+)上的同余关系.下证是 (S,·)上的同余关系.已知是等价关系,故只需证明关于乘法满足相容性即可.

引理 2.2设则类是S的子半环.

证明若则有a=abn−1,b=ban−1,且

引理 2.3设则有

证明(i)若则设 u=a+b,v=b+a,于是有

反之,假设u,v∈S,使得

则有

反之,假设u,v∈S,使得

则有

反之,假设u,v∈S,使得

定理 2.1设则有

证明只证明 (ii),类似可证(i),(iii).

因此对w∈S,有

由此可得:

即

因此可得S满足等式(12),(13),(14)和(15).

用c代替z,用u代替x,用v代替y,则由(10),(11)式可得:

将上式中的a,b交换,类似可得:

交换a,b有(a+c)(b+c)n−1=a+c.故是(S,+)上的右同余.因此可得是(S,+)上的同余关系.下证是(S,·)上的同余.已知是(S,·)上的同余关系,而是(S,·)上的右同余,因此是(S,·)上的右同余.最后证明是(S,·)上的左同余即可.用c代替 z,用u代替 x,用v代替y,由 (15)式可得ca(cb)n−1=ca,交换a,b得cb(ca)n−1=cb,即于是因此也是 (S,·)上的同余.综上可知是半环(S,+,·)上的半环同余关系.

由引理2.3可知半环类

引理 2.4设则有

下面将通过Mal′cev积,得到这些半环簇的Mal′cev积分解.

定理 2.2(i)Ld=Ld1◦Ld0;(ii)Ll=Ll1◦Ll0;(iii)Lr=Lr1◦Lr0.

证明(i)若S∈Ld,则而类在Ld1中,因此在Ld0中,这就说明S∈Ld1◦Ld0.即Ld⊆Ld1◦Ld0.

反之,设S∈Ld1◦Ld0且ρ∈Con(S).假设对任意的u∈S,ρ-类ρu∈Ld1,则S/ρ∈Ld0.于是由S/ρ∈Ld0和引理2.4(i)可知,对任意的a,b∈S,

因此对任意的c∈S,有

然而,因为ρu∈Ld1,于是有

因此得到了S满足等式(9),(10),(11).由定理2.1(i)知S∈Ld,即有Ld1◦Ld0∈Ld.综上证得了 Ll=Ll1◦Ll0.

同理可证(ii),(iii).

[1] Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroup[M].New York:Wiley,1999.

[2] Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[3] Burris S,Sankppanaver H P.A Course in Universal Algebra[M].New York:Springer Verlag,1981.

[4] Pastijn F,Zhao X Z.Green′s D-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring[J]. Arch.Math.(Brno),2000,36:77-93.

[5] Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Univers, 2001,46:75-96.

[6] Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium, 2002,9:15-28.

[7] Zhao X Z.Idempotent semirings with a commutative additive reduct[J].Semigroup Forum,2002,64:289-296.

[8] Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis, 2005,54:301-321.

Several studies of Green′s relations on a class of semiring

Lian Lifeng1,Ren Miaomiao1,Chen Yizhi2
(1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China
2.Department of Mathematics,Huizhou University,Huizhou Guangdong 516007,China)

Green′s-relations of a semiring variety whose additive reduct is band and multiplicative reduct is completely regular semigroup are studied.We give the sufficient and necessary conditions which makebe congruence relations,obtain the classes of semiring which are determined by these Green s-relations are semiring varieties,and through the Mal′cev product,we also obtain the decomposition of these semiring varieties.

semiring,variety,congruence,Green′s relation

O153.3

A

1008-5513(2014)04-0420-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.012

2014-5-21.

广东高校优秀青年创新人才培养计划项目(2013LYM0086).

练利锋(1989-),硕士生,研究方向：代数学.

2010 MSC:16Y60