有限链环上的常循环码

郑喜英, 孔波

(1.黄河科技学院信息工程学院,河南 郑州 450063;2.河南教育学院数学与统计学院,河南 郑州 450046)

有限链环上的常循环码

郑喜英1, 孔波2

(1.黄河科技学院信息工程学院,河南 郑州 450063;2.河南教育学院数学与统计学院,河南 郑州 450046)

研究了有限链环R上常循环码的等价性,根据等价性给出了R上一些常循环码及其对偶码的结构.确定了该环上长度为ps的所有常循环码及其对偶码的结构.

常循环码;循环码;对偶码

1 引言

近年,有限环上的常循环码成了很多学者研究的热点问题.文献[1]研究了有限环(Fp+ uFp+vFp+uvFp)上的(1+λu)-常循环码的结构,并构造了参数较好的p元线性码.文献[2]研究了有限环(对任意的整数k≥1)上的循环码,定义了一个Gray映射,证明了Rk上循环码的Gray像是指数为2k的二元准循环码.文献[3]对有限域上的常循环码的等价性进行了研究,并对其常循环码的生成元进行了刻画.文献[4]研究了有限环

(对任意的整数k≥1)

上的线性码,并定义了两个等价的Gray映射.文献[5]研究了有限环上的常循环自对偶码的生成多项式.文献[6]研究了有限环(F2+uF2+vF2+uvF2)上的常循环码及其Gray像的结构.文献[7]研究了环上的一类常循环码及其对偶码的结构.文献[8]给出了有限链环上循环码和负循环码的生成元.文献[9]研究了环(Fpm+uFpm)上常循环码的等价性,并根据等价性对该类环上的常循环码进行了分类.文献[10]研究了有限链环上的重根循环码的生成多项式.文献[11]研究了环(Fpm+uFpm)上常循环码的结构.本文在文献[9-11]的基础上研究了有限链环上的单根及重根常循环码及其对偶码的结构对前面的结果进行了推广.

2 基础知识

定义 2.1设R为一个含单位元1的有限交换环,若1/=0,并且环R中的全部理想能按照包含关系构成一条链,则称环R为有限链环.

设R是一个有限链环,R的极大理想为I=〈γ〉=γR,其中γ是幂零指数为e的幂零元, R的所有理想满足链R=γ0R⊃γ1R⊃···⊃γeR.

令F=R/I=R/〈γ〉,则F是特征为素数p的域,已知存在整数m使得|F|=pm.令ξ是F的一个本原元,那么F={0,1,ξ,···,ξpm−2}.

由文献[8]可知R中的每一个元素r都可以唯一的表示为:

环R上所有的单位元为:

环R上长为n的线性码是Rn的一个R-子模.设v表示Rn上的一个λ-常循环移位,即若对任意的 (c0,c1,···,cn−1)∈Rn,均有 v(c0,c1,···,cn−1)=(λcn−1,c0,···,cn−2).设C为R上长为n的线性码,若对任意的(c0,c1,···,cn−1)∈C,均有

称C为环R上长为n的λ-常循环码.对任意的x=(x1,x2,···,xn),y=(y1,y2,···,yn)∈Rn, x,y的内积定义为设C为有限链环R上长为n的线性码,C的对偶码定义为:

若C⊆C⊥称C为自正交码,若C=C⊥称C为自对偶码.

设λ为有限链环R上的可逆元,如果f(x)整除xn−λ(即xn−λ=f(x)g(x)),记

3 有限链环上的任意长度的常循环码

引理3.1对于任意的i,j∈Zpm−1,若存在λ∈Zpm−1,使得i−j≡nλ(mod(pm−1))成立,则环R上的长为n的常循环码与常循环码置换等价,其中c1,c2,···,ce−1∈Fpm.

证明构造映射:

易证ψ1是环同态映射.下面证明该映射是一一映射.

对任意的f(x),g(x)∈R[x],

当且仅当存在h(x)∈R[x],使得

当且仅当

当且仅当

当且仅当

所以,ψ1是从

到

的一一映射.

所以ψ1是环同构映射,则环R上的长为n的常循环码与常循环码置换等价.

用文献[9]定理2.1的证明方法可得下面的定理.

定理 3.1对于任意的 i,j∈Zpm−1,若存在 i−j∈{0,l,2l,···,pm−l−1},其中 l=

(n,pm−1),则环R上长为n的常循环码与常循环码置换等价,其中c1,c2,···,ce−1∈Fpm.

由定理3.1易得下面的推论.

推论 3.1(1)若i∈{0,l,2l,···,pm−l−1},则环R上的长为n的ξi-常循环码与循环码置换等价,其中l=(n,pm−1);

(2)对于任意的i,j∈Zpm−1,若i−j∈{0,l,2l,···,pm−l−1},其中l=(n,pm−1),则环R上的长为n的ξi-常循环码与ξj-常循环码置换等价.

由推论3.1(1)及文献[10]中的定理4.9可得:

定理3.2若i∈{0,l,2l,···,pm−l−1},R是一个特征为pα的有限链环,令n=pβl这里p不整除于l,λ=min{α,pβ}.则对任意的整数k满足1≤k≤λ,存在一个的理想C可由k个多项式生成不能由k−1个多项式生成.

4 有限链环上码长与剩余域的特征互素的常循环码

引理 4.1当(n,p)=1时,对于任意的i,j∈Zpm−1,若存在λ∈Zpm−1使得成立,则环R上的长为n的ξi-常循环码与(ξi+clγl+cl+1γl+1+···+ce−1γe−1)-常循环码置换等价,其中ci∈Fpm,i=l,l+1,···,e−1,

证明当(n,p)=1时,存在n′∈Zp,使得nn′=1(mod p).构造映射

易证ψ2是环同态映射.

∀f(x),g(x)∈R[x],

当且仅当存在h(x)∈R[x],使得

当且仅当

当且仅当

所以ψ2是从

到

的一一映射.

所以ψ2是环同构映射,则环R[x]上的长为n的ξi-常循环码与常循环码置换等价.

由推论3.1(2)及引理4.1易得下面的定理.

定理 4.1当(n,p)=1时,若存在i−j∈{0,l,2l,···,pm−l−1},其中l=(n,pm−1),则有限链环R上的长为n的常循环码与常循环码置换等价,其中

由定理4.1易得下面的推论.

推论 4.1若i∈{0,l,2l,···,pm−l−1},(n,p)=1,则有限链环R上的长为n的循环码与常循环码置换等价,其中ci∈Fpm,i=l,l+1,···,e−1.

引理 4.2 [8]设C为有限链环R上的长为n的循环码(R的极大理想为〈γ〉,γ的幂零指数为e,R的剩余域 ¯R的特征为p,这里(n,p)=1).则存在R[x]中两两互素的首一不可约多项式F0,F1,···,Fe,满足

这里

由推论4.1及引理4.2易得下面的定理.

定理 4.2设i∈{0,l,2l,···,pm−l−1},C为有限链环R上的长为n的(ξi+clγl+ cl+1γl+1+···+ce−1γe−1)-常循环码(R的极大理想为〈γ〉,γ的幂零指数为e,R的剩余域R¯的特征为p,这里(n,p)=1).则存在R[x]中两两互素的首一不可约多项式F0,F1,···,Fe满足

使

定理 4.3[8]设 C为有限链环 R上的长为 n的循环码(R的极〈大理想为〈γ〉,γ的幂〉零指数为 e,R的剩余域的特征为 p,这里 (n,p)=1).这里 F0,F1,···,Fe为 R[x]中两两互素的首一不可约多项式F0F1···Fe=xn−1且Fe+1=F0,则

由推论4.1及定理4.3易得下面的定理.

定理 4.4设 i∈{0,l,2l,···,pm−l−1},C为有限链环 R上的长为 n的 (ξi+常循环码 (R 的极大理想为 〈γ〉,γ的幂零指数为 e,R的剩余域 ¯R的特征为 p,这里 (n,p)=1).则存在 R[x]中两两互素的首一不可约多项

其中

5 有限链环上码长ps的常循环码

若c0,c1都是Fpm上的可逆元,则是有限链环R上的可逆元.则有限链环R上长为ps的常循环码是环的理想.由除法原理可知,存在非负整数cq,cr,使得s=cqm+cr,0≤cr≤m−1.令则

引理5.1在环Rps上,且cx−1是该环上幂零指数为eps的幂零元.

证明对所以在环Rps上有

引理5.2[8]对有限交换环R,下面几个条件等价

(1)R是一个局部环,极大理想M为主理想环;

(2)R是一个局部主理想环;

(3)R是一个有限链环.

定理5.1Rps是一个有限链环,其所有理想按包含关系如下:

则有限链环R上长为ps的常循环码就是链环Rps中的理想0≤i≤eps,每一个码〈(cx−1)i〉包含pm(eps−i)个码字.

证明因R中的每一个元素r都可以唯一的表示为ci∈Fpm～=R/〈γ〉,i=0,1,2,···,e−1.所以R[x]中每一个次数小于n的多项式f(x)都可以唯一的表示为:

这里b0i,b1i,···,b(e−1)i∈Fpm.

所以r(x)∈Rps可以表示为:

这里r0i,r1i,···,r(e−1)i∈Fpm.

因cx−1,γ是该环上的幂零元,所以r(x)可逆当且仅当r00/=0.由引理5.1可知r(x)不可逆,则r00=0.这时r(x)∈〈cx−1〉,所以〈cx−1〉是Rps中包含所有不可逆元的理想,所以Rps是一个极大理想为〈cx−1〉的局部环,由引理5.2可知Rps是一个有限链环.

引理 5.3 [11]有限链环R上的λ-常循环的对偶码是λ−1-常循环码.

引理 5.4 [11]有限链环R上的任意长为n线性码C,|C||C⊥|=|R|n.

定理5.2当〈pm≥e时〉,有限链环R上每一个长为常循环码的对偶码为且C⊥是环R上的常循环码,C⊥中包含pmi个码字,其中0≤i≤eps.

证明由因此

所以

6 结论

本文首先研究了有限链环上常循环码的等价性,利用等价性给出了该环上常循环码及其对偶码的结构.今后,将进一步研究一般有限环上常循环码的等价性及其上常循环码的结构.

参考文献

[1] 朱士信,王立启.环Fp+uFp+vFp+uvFp上的一类常循环码[J].数学物理学报:A辑,2013,33(4):696-701.

[2] Dougherty S T,Karadeniz S,Yildiz B.Cyclic codes over Rk[J].Des.Codes Cryptogr,2012,63:113-126.

[3] Chen Bo cong,Fan Yun,Lin Li ren,et al.Constacyclic codes over fi nite fi elds[J].Finite Fields and Their Applications,2012,18:1217-1231.

[4] Dougherty S T,Yildiz B,Karadeniz S.Codes over Rk[J].Gray Maps Binary Images,2011,17(3):205-219.

[5] 施敏加.环F2+uF2+···+uk−1F2上的常循环自对偶码[J].电子与信息学报,2013,41(6):1088-1092.

[6] Karadeniz S,Yildiz B.(1+v)-Constacyclic codes over F2+uF2+vF2+uvF2[J].Journal of the Franklin Institute,2011,348:2625-2632.

[7] 李岩,朱士信.环 Fpm+uFpm+···uk−1Fpm上的一类常循环码 [J].合肥工业大学学报:自然科学版, 2012,35(3):408-411.

[8] Dinh H Q,Lopez-permauth S R.Cyclic and negacyclic codes over fi nite chain rings[J].IEEE Trans.Inform. Theory,2004,50(8):1728-1744.

[9] 丁健,李红菊,李海霞．关于环Fpm+uFpm上常循环码的等价性[J]．中国科学技术大学学报,2013,43(4):334-339.

[10] 郑喜英.无限长序列及有限链环上的循环码[D].武汉:华中师范大学,2007.

[11] Dinh H Q.Constacyclic codes of length psover Fpm+uFpm[J].Journal of Algebra,2010,324:940-950.

Constacyclic codes over fi nite chain rings

Zheng Xiying1,Kong Bo2
(1.College of Information Engineering,Huanghe Science and Technology College,Zhengzhou 450063,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Henan Institute of Education,Zhengzhou 450046,China)

Let R be a fi nite chain ring,and the characteristic of the residue fi eld¯R be a prime number p.The equivalence of constacyclic codes over fi nite chain ring R are studied,and the structure of some constacyclic codes and their duals are given.The structure of all constacyclic codes with length psand their duals over the ring R are determined.

constacyclic code,cyclic code,dual code

O157.4

A

1008-5513(2014)04-0377-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.007

2014-05-08.

河南省基础与前沿(122300410229);河南省教育厅科学技术研究重点项目(14B110024);郑州市科技局科技攻关项目(20141375).

郑喜英(1981-),硕士,讲师,研究方向：代数与编码.

2010 MSC:47B35