π-正则半群的全π-正则子半群格

田振际, 马存德

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

1951年,Tamura[1]发表了首篇关于半群及其子半群格的文章,代表半群代数系统及其子系统间的研究取得了新的进展.1984年,Johnston等[2]得到了正则半群的全正则子半群格的分解定理.1994年以来,田振际研究了π-逆半群与它的π-逆子半群格的性质,在此基础上研究了π-逆子半群格是可补格,模格,0分配格,0模格,下半分配格和半模格的π-逆半群的结构[3-7].田振际又研究了π-逆半群的全π-逆子半群格的性质,并得到了全π-逆子半群格是分配格和链的π-逆半群的结构,相关结果见文献[3].

受上述文献的启发,本文就π-正则半群的全π-正则子半群格进行了研究,给出了π-正则半群的全π-正则子半群格的一些相关性质及特征,进一步得到π-正则半群的全π-正则子半群格是分配格的充分必要条件.

1 预备知识

设S是半群,a∈S,若存在x∈S,使得axa=a,则称a是正则的.若半群S中的任一元素都是正则的,则称S是正则半群.若存在正整数n∈Z+,使得an∈RegS,则称a是S中的π-正则元.同时,把使得an∈RegS的最小自然数m称为元素a在S中的正则指数,且记其为r(a).半群S称为π-正则的,如果S的每个元素是π-正则的.

设A为半群S的一个子半群,若ES⊆A,则称A为S的全子半群.π-正则半群S的子集A称为S的全π-正则子半群,如果A是S的全子半群,且A中的每个元素是π-正则的.由半群S的子集A生成的子半群表示为〈A〉.若S是π-正则半群,则由S的子集A生成的全π-正则子半群表示为《A》.用subπS表示S的全体π-正则子半群的集合,用subfπS表示S的全体全π-正则子半群的集合.容易证明,subπS,subfπS都是完全格,且subfπS是subπS的完全子格,且对任意的A,B∈subfπS,有

A∧B=A∩B,A∨B=〈A,B〉

显然,如果S是群,则subfπS=subgS,其中subgS表示S的子群格.若S为正则半群,则显然有subfπS=subfrS,其中subfrS表示正则半群S的全正则子半群格.若S为π-正则半群,则〈RegS〉和〈ES〉均为S的π-正则子半群,且〈ES〉为S的最小全π-正则子半群.π-正则半群S的子半群A是π-正则的,如果A∩RegS=RegA.

格L称为分配格,若对任意的a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c).

设S是任意半群,若K-是格林关系L,R,J,H,D的一种,用Ka表示S的包含a的K类,其中a∈S.S/K表示K类的集合.

引理1[3]设S为任一半群,x∈RegS,且x=x1x2…xn,其中x1,x2,…,xn∈S.则存在e1,e2,…,en∈ES,使得

1)x=(e1x1)(e2x2)…(enxn);

2)xDeixi,eixi是正则的,其中i=1,2,…,n;

3)X′nenX′n-1en-1…X′1e1是x的逆元,其中Xi=eixi,x′为x的逆元,而X′i表示Xi的逆元,i=1,2,…,n.

引理2[4]设S为π-正则半群,J是S的包含一个幂等元的J类.则J中的每个元素都正则.此外,任一单(0单)的π-正则半群一定是正则半群.

设S为π-正则半群,J∈S/J.根据引理2.要么J⊆RegS,要么J∩RegS=∅.因此,主因子PF(J)要么是正则半群,要么是零积半群.在前一种情况下,J被称为正则J类,而在后一种情况下,J被称为奇异J类.

本文没有说明的术语和符号见文献[3～7].

2 主要结论

引理3设S为π-正则半群,J∈S/J为S的正则J类,且A,B∈subfπS,则

(A∨B)∩J=〈A∩J,B∩J〉∩J

证明设x∈(A∨B)∩J,则存在x1,x2,…,xn∈A∪B,使得x=x1x2…xn,n∈Ζ+.由于J为正则J类,则x∈RegS.故由引理1,存在e1,e2,…,en∈ES,使得x=(e1x1)(e2x2)…(enxn),且xDeixi.又由ES⊆A∪B,故eixi∈(A∩J)∪(B∩J),所以x∈〈A∩J,B∩J〉∩J.从而(A∨B)∩J⊆〈A∩J,B∩J〉∩J.显然(A∨B)∩J⊇〈A∩J,B∩J〉∩J.于是,等号成立.

推论1设S是π-正则半群,J∈S/J为S的正则J类,则subfπS上的关系

γJ:AγJB⟺A∩J=B∩J,A,B∈subfπS

是subfπS上的同余关系.

证明易见,γJ是等价关系.设A,B,C∈subfπS,且AγJB,则A∩J=B∩J,所以A∩C∩J=B∩C∩J,故(A∩C)∩J=(B∩C)∩J,即(A∩C)γJ(B∩C).

又由引理3,(A∨C)∩J=〈A∩J,C∩J〉∩J=〈B∩J,C∩J〉∩J=(B∨C)∩J.即(A∨C)γJ(B∨C).所以γJ是同余.

设S是π-正则半群,J∈S/J,A,B∈subfπS,令N(J)=〈ES〉∪{K∈S/J:K

定理1如果S是π-正则半群,J∈S/J是S的正则J类,定义映射φJ: 对任意的A∈subfπS,AφJ=(A∩J)∪{0}.那么φJ是从subfπS到subfπPF(J)的满同态.

证明显然φJ是从[N(J),I(J)]到subfπPF(J)的映射.对任意的A,B∈subfπS,有

并且由引理3,又有

从而φJ是同态.

对任意的C∈subfπPF(J),记

任取x,y∈D.若x,y∈C{0},则要么Jxy

推论2如果S是π-正则半群,J∈S/J是S的正则J类,那么φJ在区间[N(J),I(J)]上的限制是同构,因此

[N(J),I(J)]≅subfπPF(J)≅subfrPF(J)

证明由定理1,只需证φJ在区间[N(J),I(J)]上的限制是单射即可.设A,B∈[N(J),I(J)],若AφJ=BφJ,则A∩J=B∩J,所以AJ=BJ,又A,B∈[N(J),I(J)],则A=AJ=BJ=B⟹A=B.进而,φJ是单射.所以φJ在区间[N(J),I(J)]上的限制是同构.

引理4设S是π-正则半群,且a∈SRegS.若存在x∈《a》,使得Jx>Ja,则x∈〈ES〉.

证明由a非正则,所以Ja∩RegS=∅.令A=N(Ja)∪〈ES,a〉,则A为S的全子半群.又〈ES,a〉⊆I(Ja),进而A⊆I(Ja).又Ja∩RegS=∅,则

且显然,A∩RegS⊇N(Ja)∩RegS.因此A∩RegS=N(Ja)∩RegS=RegN(Ja)⊆RegA.又RegA⊆A∩RegS,故A∩RegS=RegA,所以A∈subfπS.则《a》⊆A,进而x∈A.若Jx>Ja,则x∉(N(Ja)∪〈ES,a〉)〈ES〉,从而x∈〈ES〉.

引理5设S是π-正则半群,subfπS是分配格.如果a=a1a2…an∈SRegS,则存在ak(k=1,2,…,n),使得a∈《ak》.

证明由于a∈(《a1》∨《a2》∨…∨《an》)∩《a》.由subfπS的分配性,有

定理2设S是π-正则半群,则subfπS是分配格当且仅当

1) 对S的每个正则J类,subfπPF(J)是分配格;

2) 若a=a1a2…an∈SRegS,则存在ak(k=1,2,…,n),使得a∈《ak》.

证明必要性) 设subfπS是分配格,则由定理1和引理5,1)和2)成立.

充分性) 假设S满足条件1)和2).并设A,B,C∈subfπS.只需证明A∩(B∨C)=(A∩B)∨(A∩C).显然,A∩(B∨C)⊇(A∩B)∨(A∩C).下面证明A∩(B∨C)⊆(A∩B)∨(A∩C).

任取a∈A∩(B∨C),显然《a》⊆A∩(B∨C).

若a∈RegS,则Ja为正则J类,由于φJa是从subfπS到subfπPF(Ja)的满同态,于是

进而,由subfπPF(Ja)的分配性可得

从而,a∈(A∩B)∨(A∩C).

若a∈SRegS,则存在b1,b2,…,bn∈B∪C,使得a=b1b2…bn.由条件2),存在bk∈B∪C,使得a∈《bk》,由此可得

从而,A∩(B∨C)⊆(A∩B)∨(A∩C).

综上,A∩(B∨C)=(A∩B)∨(A∩C),所以subfπS是分配格.

这样,一般来说,为了研究具有某些类型全π-正则子半群格的π-正则半群的性质,可以转化为研究它的正则J类对应的主因子和奇异J类,而它的正则J类对应的主因子PF(J)是正则半群,关于正则半群的全正则子半群格已在文献[2]中分解.因此,主要研究其奇异J类即可.