满足恒等式的Γ-半环

冯军庆,梁国宏,徐 慧

(空军工程大学 基础部，西安 710051)

1 引言与预备知识

半环的结构问题是半环代数理论研究中十分活跃的领域.Γ-半群是Sen[1]于1981年在半群的基础上推广得到的一个数学概念，Γ-半环的概念是在环、三元半环以及半环的概念上由Muralinlorim[2-4]推广得到的.既然Γ-半环是半环概念的推广，对于半环上的一些已知结果和结论，在Γ-半环中是否也有类似地结果和结论成为许多学者研究的问题之一.Marapureddy[5]研究了满足恒等式a+aαb=a、aαb+a=a的Γ-半环.Γ-半环中有两个半群，分别是加法半群和Γ-半群，这两个半群依靠Γ-半群中的元素对加法的分配率联系在一起，构成Γ-半环.这里来考虑满足恒等式a+aαb=b、aαb+a=b和a+aαb+b=b的两类Γ-半环，主要研究Γ-半环的两个半群的结构，其中的一个半群的结构对另一个半群的结构是否有影响.想了解更多与本文有关的理想理论,请参阅文献[6-9].

设M和T是两个非空集合，若对∀a,b,c∈M,α,β∈Γ,有aαb∈M,aα(bβc)=(aαb)βc成立，则称M为Γ-半群[1].

设M为Γ-半群.若对∀a,b∈M,∃α∈Γ,使得aαb=a(aαb=b),则称M为左单(右单)Γ-半群.若对∀a,b∈M,∀α∈Γ,使得aαb=bαa,则称M为交换Γ-半群.若对∀a∈M,∃α∈Γ,使得aαa=a,则称a为M的α-幂等元，若M中的每个元素均是M的幂等元，则称Γ-半群M是带.若对∀a∈M,∃x∈M,α,β∈Γ,使得aαxβa=a,则称a为M正规元，若M中的每个元素均是正规元，则称Γ-半群M是正规带.若对∀a,b∈M,∃α,β∈Γ,使得aαbβa=a,则称Γ-半群M为矩形带.设(M,+),(Γ,+)是半群，若∀a,b,c∈M,α,β∈Γ,满足下列条件：

1)aα(b+c)=aαb+aαc;2)(a+b)αc=aαc+bαc;3)a(α+β)b=aαb+aβb;

称Γ-半群M为Γ-半环[1].

设M为Γ-半环.若对∀a∈M,α∈Γ,∃0∈M,使得0+a=a=a+0,0αa=aα0=0,则称0为Γ-半环M的零元素.若对∀a,b∈M,α∈Γ,均有aαb=bαa,a+b=b+a,则称M为交换Γ-半环.若对∀a∈M,α∈Γ,使得aα1=1αa=a,则称1为Γ-半环M的单位元.

2 满足恒等式a+aαb=b，aαb+a=b的Γ-半环

主要研究Γ-半环的加法半群和Γ-半群的结构.当Γ-半环的加法半群具有某些特定的结构时，它的Γ-半群是否也具有某些特殊的结构.这是本节研究的问题.

定理1 设M是满足恒等式a+aαb=b的Γ-半环，若M含有单位元1，则a+a=1.

证明设∀a,b∈M,α∈Γ,由于M含有单位元1，所以∃γ∈Γ,使得aα1=a,又由于M是满足恒等式a+aαb=b的Γ-半环，特别地，若b=1，则a+aα1=1,即a+a=1.

定理2 设M是满足恒等式a+aαb=b，aαb+a=b的正规Γ-半环，则(M,+)是右零带当且仅当Γ-半群是右单的.

证明由于M是正规Γ-半环，所以对b∈M，∃α,β∈Γ,a∈M使得b=bβaαb,由已知条件，对∀a,b∈M,α,β∈Γ,有a+aαb=b，aαb+a=b，于是aαb=(b+bβa)αb=bαb+bβaαb=bαb+b=bαb+aαb+a=(b+a)αb+a=aαb+a=b，即aαb=b，于是Γ-半群是右零的.

反之，若aαb=b，则a+aαb=a+b=b,即(M,+)是右零带.

定理3 设M是满足恒等式a+aαb=b的Γ-半环，若M含有单位元1，则(M,+)是矩形带的必要条件是(M,+)是带.

证明由于M含有单位元1，所以对∀a,b∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a,由a+aαb=b得a+aγb=b，即aγ1+aγb=b，于是aγb+aγ1+aγb=aγb+b，aγ(b+1+b)=aγb+b，aγb=aγb+b，所以a+aγb=a+aγb+b，即b+b=b，故(M,+)是带.

定理4 设M是满足恒等式aαb+a=b的Γ-半环，若Γ-半群是带，则(M,+)也是带.

证明由于Γ-半群M是带，对∀a∈M，∃α∈Γ,使得aαa=a,由于aαb+a=b，特别地当a=b时，aαa+a=a，即a+a=a，故(M,+)是带.

定理5 设M是满足恒等式aαb+a=b的Γ-半环，若Γ-半群是右单的，则(M,+)是左零带.

证明由于∀a,b∈M，∃α∈Γ,均有aαb+a=b，又Γ-半群是右零的，所以aαb=b，故b+a=b，即(M,+)是左零带.

定理6 设M是满足恒等式aαb+a=b的Γ-半环，若(M,+)是带，则M是正规Γ-半环.

证明由于∀a,b∈M，∀α∈Γ,均有aαb+a=b，故aαa+a=a，又由于(M,+)是带，所以aαa+a+a=a+a，即aαa=a，从而M是幂等Γ-半环.又a=aα(aαa)=aαaαa.从而M中的任一元素均是正规元，所以M是正规Γ-半环.

定理7 设M是满足恒等式a+aαb=b的Γ-半环，若Γ-半环的单位元1是加法单位元，则M的Γ-半群是右单的.

证明由于∀a,b∈M，∀α∈Γ,均有a+aαb=b，∀a∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a，所以aγ1+aγb=b，即aγ(1+b)=b，所以aγb=b，所以M的Γ-半群是右零的.

定理8 设M是满足恒等式aαb+a=b的幂等Γ-半环，则(M,+)是带.

证明由于M是幂等Γ-半环∀a∈M，∃γ∈Γ,均有aαa=a，又由于M满足恒等式aαb+a=b，对所有α∈Γ均成立，所以aγa+a=a+a,因此a+a=a，故(M,+)是带.

定理9 设M是满足恒等式aαb+a=b的布尔Γ-半环，则(M,+)是带.

证明由于M是布尔Γ-半环∀a∈M，均有aαa=a，所以a+a=a+aαa=a,因此a+a=a，故(M,+)是带.

定理10 设M是满足恒等式a+aαb+a=b的布尔Γ-半环，若(M,+)是左零的，则M是满足恒等式a+aαb=b的Γ-半环.

证明由于M是布尔Γ-半环，∀a∈M，均有aαa=a，由于a+aαb+a=b，所以a+aαb+aαa=b,即a+aα(b+a)=b,由于(M,+)是左零的，所以b+a=b，故a+aαb=b.

定理11 设M是含单位元1的Γ-半环，若(M,+)是右零的，则∃γ∈Γ,使得a+aγb+a=a.

证明由于M是含单位元1的Γ-半环，∀a∈M，a+1=1，且存在∃γ∈Γ,使得aγ1=a，于是a+aγb+a=a+aγb+aγ1=a+aγ(b+1)=a+aγ1=a+a=a，故a+aγb+a=a.

定理12 设M是含单位元1，且满足a+1=1的Γ-半环，若M的Γ-半群是右单的，则∃γ∈Γ,使得aγb+a=b.

证明∀a∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a，∀b∈M，aγb+a=aγb+aγ1=aγ(b+1)=aγb=b，故aγb+a=b.

3 满足恒等式a+aαb+a=b的Γ-半环

这里主要研究满足a+aαb+a=b的Γ-半环的加法半群和Γ-半群的结构.

定理13 设M是满足恒等式a+aαb+a=b的Γ-半环，若1是M的加法单位元，则：

1)(M,+)是右零带； 2)Γ-半群M是带； 3)Γ-半群M是右单的.

证明1)∀a,b∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a，于是a+aγb+a=b，b=a+aγb+a=aγ1+aγb+a=aγ(1+b)+a=aγb+a,即aγb+a=b，所以a+aαb+a=a+b，从而b=a+b.因此(M,+)是右零带.

2)设a∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a，由于∀a,b∈M，∀α∈Γ,都有a+aαb+a=b，因此对上述的γ∈Γ,有aγ1+aγa+a=a，所以aγ1+aγa+aγ1=a，即aγ(1+a)+aγ1=a，因此aγa+aγ1=a，aγ(a+1)=a，所以aγa=a.

3)设若1是M的加法单位元，∀a,b∈M，∀α∈Γ,都有a+aαb+a=b，由于∀a,b∈M，所以∃γ,β∈Γ,使得aγ1=a，1βb=b，且a+aγb+a=b，所以aγ1+aγb+a=b，aγ(1+b)+a=b，故aγb+a=b，aγ1βb+aγ1=b，因此aγ(1βb+1)=b，aγ1βb=b，从而aγb=b，故Γ-半群M是右单的.

定理14 设M含单位元1(也是加法单位元)的Γ-半环，若M的Γ-半群是右单的，则∀a,b∈M，∃γ∈Γ,都有a+aγb+a=b.

证明设a,b∈M，∃γ∈Γ,使得aγ1=a，且1+b=b，所以aγ1+aγb=aγb，因此a+aγb=aγb，于是a+aγb+a=aγb+a，a+aγb+a=aγb+aγ1，a+aγb+a=aγ(b+1)，从而a+aγb+a=aγb，又M的Γ-半群是右单的，所以a+aγb+a=b.

定理15 设M是布尔Γ-半环，若M的加法半群(M,+)是左零的，则∀a,b∈M，∀α∈Γ,都有a+aαb+a=b.

证明设M是布尔Γ-半环，∀a,b∈M，∀α∈Γ,都有aαa=a，则a+aαb+a=a+aαb+aαa=a+aα(b+a)=a+aαb=aαa+aαb=aα(a+b).

定理16 设M是零正Γ-半环，若M满足恒等式a+aαb+a=b，则MΓM={0}.

证明设a,b∈M，α∈Γ,有a+aαb+a=b，所以aαa+aαaαb+aαa=aαb，因此0+0αb+0=aαb，即0=aαb，从而MΓM={0}.

4 结论

从这两类满足恒等式的Γ-半环中可以看出,Γ-半环的加法半群和Γ-半群的结构相互影响、相互制约，它们的性质和结构又决定了Γ-半环的性质和结构.