新课程下用《几何画板》开展数学实验教学

刘军华

摘 要：数学实验，指的是引导学生通过操作、实践、试验来进行探索学习的数学教学形式. 《几何画板》提供了一个“做数学”的虚拟实验室，在其中实现观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，它的介入可以调动学生的积极参与，加深对数学概念的深层次理解，积累丰富的数学体验，拓宽提高数学能力的途径. 用《几何画板》开展数学实验教学，不仅会让教师教得轻松，学生也会学得轻松，达到事半功倍的目的.

关键词：数学实验教学；几何画板；自主探索

■引言

数学实验，指的是引导学生通过操作、实践、试验来进行探索学习的数学教学形式.

著名数学家和数学教育家G·波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学.” 要全面提高学生的数学素质，就要在数学教学中充分体现它的两个侧面，既重视数学内容的形式化、抽象化的一面，又重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，而后者对于数学基础教育显得更为重要. 在中学数学教学中恰当地引入数学实验是引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题的有效途径，也是完善学生认知结构，提高学生数学素养，并使其全面认识数学两个侧面的重要途径.

然而在目前形势下，数学教学往往过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果，而对数学发现过程的展示和数学直观性的背景关注较少，大量的时间花在讲题与练题上，于是在学生眼里，数学成了枯燥无味的公式、结论和习题的堆积，充满美感和生机勃勃的数学学科丧失了它的本来面目，从而给学生数学学习带来了困难，难怪学生常常感叹：“数学越学越难.” 学生在数学学习这一认知过程中是按照从具体到抽象、从感性到理性的认识规律来认知数学的，而数学实验是沟通具体到抽象、感性到理性的一座桥梁.

计算机多媒体的介入，使得数学实验有了质的飞跃，很多的数学实验都可以利用计算机作为工具，借助它强大的计算和图象处理能力，为抽象思维提供直观模型，无论是作图，还是计算，计算机都可以迅速完成. 正如江苏省高淳高级中学周金宝老师所说的：“事实上借用电脑以后，数学课就可以像物理、化学一样上实验课.”

《几何画板》（The Geometers Sketchpad）是主要用于平面几何、解析几何、射影几何、初等代数等教学的软件平台. 《几何画板》以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、动画、跟踪轨迹等，能显示或构造出较为复杂的图形，把较为抽象的数学对象形象生动化，让人在动态中认识数学对象的不变关系. 它提供了一个“做数学”的虚拟实验室，在其中实现观察、實验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，它的介入可以调动学生的积极参与，加深学生对数学概念的深层次理解，积累丰富的数学体验，拓宽提高数学能力的途径.

《几何画板》是一个数学意义上的软件，其精髓在于，在变动的状态下保持不变的几何关系，如某线段的中点在动态中永远是中点，平行的直线在动态中永远平行，这正是几何研究所追求的.

利用这个工具，有些教学内容可以在教师的指导下让学生独立或者分组进行观察和分析，不必用“教师讲、学生听”的传统教学方式进行，达到了既充分发挥教师的主导作用，又使学生成为学习的主体的效果，是一个让学生自主进行探索性学习的直观环境，能创造出一种数学实验教学的新型课堂教学模式.

计算机辅助教学与数学实验相结合进行数学教育的思想：从若干实例出发（包括学生自己设计的例子）→在计算机上做大量的实验→发现其中的规律→提出猜想→进行证明.

■案例

案例一 （新授课）正弦函数y=Asin（Bx+C）的图象变换

传统教学手段下，正弦型函数图象变换的教学困难主要在于耗时耗力，而且静态的图象无法生动反映动态的图象变换过程.现在借助《几何画板》把这节课上成数学实验课，通过观察和探索图形的平移、缩放、反射等变换，化静为动，将正弦型函数y=Asin（Bx+C）的图象变换过程动态地演示给学生. 课堂教学中不仅很好地突出了重点，突破了难点，而且在使学生理解数学思想方法、培养学生的创新精神和实践能力上都起到了很好的作用.

如图1，我们用《几何画板》来研究正弦函数y=Asin（Bx+C）的图象变换.

■

图1

1. y=sinx，y=2sinx，y=■sinx.

操作实验：拖动点C，观察正弦曲线如何变动：

y=sinx→y=2sinx→y=■sinx→y=sinx.

观察思考：A的变化从1→2→1→0.5→1.

通过实验我们可以得出规律，把正弦曲线上各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

2. y=sinx，y=sin2x，y=sin2x+■.

操作实验：（1）拖动点F，观察曲线如何变动：y=sinx→y=sinx+■.

拖动点J，观察曲线如何变动：y=sinx+■→y=sin2x+■.

（2）拖动点J，观察曲线如何变动：y=sinx→y=sin2x.

拖动点F，观察曲线如何变动：y=sin2x→y=sin2x+■.

观察思考：实验（1）y=sinx图象上的所有点向左平移了■个单位；

实验（2）y=sin2x图象上的所有点向左平移了■个单位.

通过《几何画板》演示，我们可以讲清y=sin（Bx+C）的图象是由y=sinBx的图象上各点向左（C>0）或向右（C<0）平移■个单位，而不是C个单位得到的.

“欲擒故纵”：若（2）中第二步向左平移■个单位，会得到什么呢？

利用《几何画板》对一些不易掌握的概念进行实验，在《几何画板》的帮助下，让学生比较快地掌握这些概念和基本的数学思想方法和几何背景.

案例二 （研究性课题）△ABC的顶点在定圆O上运动，B，C固定，探求△ABC的外心W的轨迹.

（1）如图2，用《几何画板》作图，可得W的轨迹是位于BC中垂线上的一条线段.

再思考：肯定是线段吗？

（2）若B点在圆O内，则显示W的轨迹是一条直线，也就是BC的中垂线.

（3）若B，C都在圆O内，则显示W的轨迹是两条射线.

通过《几何画板》直观的作图，问题已经有了结果，下面就需要建立数学模型来深入研究，因为仅仅凭观察、猜想、归纳的结论未必可靠.

首先建立坐标系，以圆心为坐标原点，圆的半径长作为单位长，建立直角坐标系.？摇

下面考虑B，C的位置，先考虑第一种情况，不失一般性，可取BC与y轴垂直.

现在用几何画板来探讨引起△ABC外心W运动的原因是什么.

提示学生拖动点A在圆上转动，让大家体验引起动点W变动的原因是点C的运动，∠XOA的变化. 我们观察到点C绕单位圆一周时，点W上下运动，有时A的不同位置会对应着同一个点W，点W的轨迹是线段、直线还是射线，取决于点W纵坐标范围的形式.

以∠XOA弧度数为横坐标，yW为纵坐标绘制点J，拖动C，显示点J的轨迹. 拖动B或C，改变它们的位置，显示点J轨迹的各种形状.

■

图3

我们令θ=∠XOA，建立θ与yW的函数关系：

设B（a，b），C（c，b）， A（cosθ，sinθ），AC的中点坐标是■，■，AC的垂直平分线的方程为y=■·x-■+■，

在上式中，令x=■，得y=■，数学模型建立完毕.

可以用计算机验证y是否等于yW.

讨论：根据y=■，我们可以讨论什么时候轨迹是线段、直线或射线.

把y=■整理为2ysinθ+（a+c）cosθ=2by-b2+ac+1，由asinx+bcosx=c有解，有4y2+（a+c）2≥4b2y2-4b（b2-ac-1）y+（a+c）2-（b2-ac-1）≥0，

（1）当b2=1时，有-4abcy+（a+c）2-a2c2≥0（先讨论最简单的情况）.

当ac=0时，a，c不可能同时为零，有a2≥0，y∈R，点W的轨迹是一条直线.

当ac≠0时，解集形式是{yy≤n}或者{yy≥m}（n

（2）当b2>1时，不等式左边判别式Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]>0恒成立，不等式解集的形式是{yn≤y≤m}，点W的轨迹是一条线段.

（3）当b2<1时，Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]，

当Δ>0时，点W的轨迹是两条射线；

当Δ<0时，点W的轨迹是一条直线；

当Δ=0时，不等式左边是完全平方式，即y+■■≥0，

若b（b2-ac-1）≠0，点W的轨迹是一条直线；

若b（b2-ac-1）=0，

①当b=0时，函数y=■成为y=■，

若ac≠-1（b2-ac-1≠0），则点W的轨迹是一条直线.

若ac=-1（b2-ac-1=0），则函数式成为y=■=-■·cotθ.

当a≠-c时，点W的轨迹是一条直线.

当a=-c时，由b2-ac-1=0，得b2+a2=1，此刻必有a=-1，c=1或a=1，c=-1，y=0（使y2≥0成立），D，E在圓上，点W的轨迹是一个点，即圆心.

②当b≠0时，b2-ac-1=0，函数式成为y=■.

注意到此刻Δ=16ac（a+c）2=0（ac≠0），否则b2=1，因此必有a=-c，y=0（使y2≥0成立），b2+a2=1，点D，E都在圆上，点W的轨迹是一个点，实验告诉我们就是圆心.

总之，当Δ=0时，除点D，E都在圆上，点W的轨迹是一个点外，其余都是一条直线.

对于点W的轨迹是直线或射线的情况，通过点A运动到直线BC附近，线段AB，AC垂直平分线几乎平行，它们的交点在“无限远”处来解释，加深理解.

案例三 （习题课）试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对椭圆C1：■+■=1（a>b>0）上任意一点P，均存在以P为顶点，且与C0：x2+y2=1外切与C1内接的平行四边形？证明你的结论.

我们可以合理地运用《几何画板》创设实验，通过实验为学生解决问题提供一些直观的思维背景，常常能使学生发现数学问题的真谛，进而为找到问题解决的思路及提出猜想提供直观的依据.

我们先用几何画板作出图4：

为了寻找满足条件的平行四边形，不妨引导学生从实验开始，先考查特殊情形，把点S拖到与点A重合的位置，把点P拖到与点B重合的位置. 如果这时平行四边形还不与单位圆相切，则再拖动点A，B进行调整，直到平行四边形PQRS与单位圆相切.

容易发现，这时单位圆与线段PQ的切点是直角三角形POQ的斜边上的高的垂足.因此平行四边形应该满足PQ×1=OA·OB（面积法），因为OA= a，OB=b，而PQ=■，即■=a·b，也即■+■=1.

继续前面的制作：

（1）[度量]点A的坐标，分离点A的横坐标，用文本编辑工具把x■改为a ；

（2）打开计算器，计算■，即b；

（3）用[选择]工具选择计算值■，并打开[图表]菜单中的[绘制度量值]在弹出的[绘制度量值]对话框后，选择“在纵（y）轴”，确定后画出与y轴垂直的一条直线（直线s）；

（4）作出直线s与y轴的交点K；

（5）作点B移动到点K的[→移动B→K]按钮，用文本编辑工具把“→移动B→K”改为“答案”；

（6）隐藏点K与直线s，拖动点Q，使直线PQ与单位圆相切.

用《几何画板》做实验，找出突破口后，我们现在进行严格的证明.

证明：圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形的中心，所求条件为■+■=1.

证明：（必要性）设P是椭圆C1上的任意一点，设P（r1cosθ，r1sinθ），所以有Qr2cosθ+■，r2sinθ+■，其中OP=r1，OQ=r2. 代入橢圆方程，得

■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■.于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■.

又菱形PQRS与单位圆C0外切，所以Rt△POQ斜边PQ上的高h=1，而h=■=■=■=■，所以■=1，即有■+■=1. （充分性）设■+■=1，P是椭圆C1上的任意一点，过P，Q作C1的弦PR，再过O作与PQ垂直的弦QS，则四边形PQRS为椭圆C1的内接菱形. 设OP=r1，OQ=r2，则P的坐标为（r1cosθ，r1sinθ），Q点的坐标为Qr2cosθ+■，r2sinθ+■. 代入椭圆方程，得■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■，于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■=1，又在Rt△POQ中，斜边PQ上的高h=1，则h=■=■=■，所以h=1.

同理，点O到QR，RS，SP的距离都是1，所以菱形PQRS与单位圆C0外切.

■总结

从以上几个案例可以看出，在运用《几何画板》下，学生通过动手实验、观察、类比、归纳，亲身经历了数学建构过程，所有的新知识通过自身的“再创造”，纳如到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识.

可以想象学生束缚已久的想象力和创造力一旦被电脑所解放，数学学习中的“妙手偶得”必然会成为源源不断的“多得”和“必得”，数学创新教育就不再是一个空洞的口号.

用《几何画板》开展数学实验教学，不仅会让教师教得轻松，学生也会学得轻松，达到事半功倍的目的，给学生提供了一个发展自己奇思妙想的好空间，使学生从学数学到做数学再到玩数学，随之而来的是学生学习态度上的变化，从被动学习到主动学习，再到创造性学习，可以有效地培养学生的创新意识，对学生数学能力的影响是深远的.