由课堂生成疑惑，刍议人教版教材

张燕飞

小学数学人教版新教材，是以《义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，无论是编排结构，还是呈现形式，都是科学及新颖的。比如主题图、情境引入与时俱进，为提升学生的数学素养提供了一个丰富多彩的数学大世界，有利于学生动手实践、自主探索、合作交流、体验成功，获得积极主动而又生动活泼的发展。但在实际教学过程中，却发现教材对一些数学问题都采取了回避处理的方式，使得教师在面对学生课堂上生成疑惑时，找不到明确的依据来答疑解惑，降低了数学课堂的学习效率，也让一些求知欲望强烈的学生认为数学是模棱两可的学科。下面就小学数学人教版教材第十册中的一些真实案例谈一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分数吗？

“真分数的定义：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。”这是教材给出的定义。

当把问题改成“当a为何值时，■是真分数？”时，学生很自然地想到：在这里“a=0”是否可取？

当课堂上产生此疑问时，班上学生有两种意见：

（1）“a=0”不可取，也就是说“不是真分数”。理由是“根据分数的意义：把一个物体或者多个物体看作一个整体，平均分成若干份，取其中的几份，可以用分数来表示。”这里“一个物体或者多个物体必须是存在的”，表示没有，一个没有的东西怎么能拿来平均分？所以学生很理所当然地认为“■不是分数”。既然■不是分数，那么它也就谈不上是真分数了。理由很充分，这样想的学生教师给予肯定：会用学过的知识进行推理，既然不是一个分数，就不必讨论它是否是真分数。

（2）“a=0”可取。理由：分数与除法之间的关系“被除数÷除数=被除数/除数”，而我们只约定0不可做分母，并未约定0不可做分子，因此“■是分数”，又因为分子比分母小，所以“■是真分数”。从分数与除法之间的关系入手，证明了■是一个分数，又从真分数的定义出发，证明了■就是一个真分数，显然也是一个充分的理由。

以上学生的这两种理由都是合情合理的，但是数学对于是非的判断只有一种答案。到底谁对谁错？作为教材，面对这样的问题，是否也应该在教材中给出明确的定义？如果教材能够清楚地对“■”这样的分数有明确的定义或者归类，那么学生产生的这种想法就能够很快地在课堂上得到释疑，也就能增加他们对知识探索的兴趣，增强他们学习数学的积极性。

课后，我查过一些资料，有些资料把“■”这样的分子是0的分数定义为“零分数”。“零分数”的概念：分子为0（分母不为0）的分数即为零分数。

意义：零作分母时无意义，零作分子时有意义，但所得的结果永远是零。

例如，■把某数分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）当m=0时，■=■=0。即：当分子是0时，分数值等于0。

例如，■=0。

（2）当n=1时，■=■=m。即：当分母是1时，分数值就是分子。根据补充定义，任何整数m都可以用■来表示，从这个意义上讲，整数是特殊的分数，整数集是分数的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

从分数的意义中可以看出“零分数”和“分数形式的整数”都是分数的一种特殊形式。

尤其是“零分数”，在数学理论中，是把它作为一个数学概念出现的，即：分子是零的分数叫做零分数。

“零分数”的实际意义是整数“0”的分数表现形式。它的本质是整数。尤其是“0”在数学运算中有着它特殊的性质，在很多数学概念中对“0”都要做明确的限定。

在分数与倒数的矛盾点上应该对“零分数”做同样的限定，在这里边应该有两处有明确的限定：

（1）根据倒数的定义可知，求一个数的倒数（0除外——因为0不能做除数，所以0没有倒数），就是1除以这个数所得的数。

（2）为了简便，求一个分数（零分数除外）的倒数，调换一下这个分数的分子与分母的位置就可以。

以上其实是对“■是否是真分数”的一个很好的诠释。

如果教材能对“零分数”也有这样明确的定义，那么学生的课堂生成的疑惑就不用等着教师课后查阅大量资料再去处理。

【疑惑二】带分数是假分数吗？

首先，教材给出带分数的定义是非常简单的，“像1■，1■……这样的分数叫带分数。”接下去的内容就是把假分数化成整数或者带分数，并没有强调带分数与假分数的关系。学生在对分数进行分类时，如果只将分数分成真分数和假分数，很多学生就会质疑是否将带分数归为假分数这一类。因为很少学生会从带分数其实是假分数的另外一种书写形式出发考虑。因此他们将分数归为真分数、假分数、带分数这三类，其实是忽略了带分数和假分数之间的密切关系。所以教师在教学时应该补充带分数与假分数的关系：它们犹如长方体和正方体之间的联系，正方体是特殊的长方体，带分数是假分数的另外一种形式，它隶属于假分数，也就是说带分数是特殊的假分数。但如果说带分数是特殊的假分数，那么整数也可以化成假分数，是否可以说整数也是特殊的假分数，而对于这些问题，教材似乎又回避了。在面对一些求知欲强烈的学生，个人觉得教材应该给个严谨的定义，以便满足学生好学的心理，更加让学生建立数学是门严谨的学科的观念，而不是有漏洞的，不够完整的。

【疑惑三】“20以内2的倍数”包括20吗？

20以内，到底是否包括20？碰到过许多类似的问题，例如《统计》里问“喜欢两类书本以上的人占总人数的几分之几？”每当遇到这些问题，学生总会质疑到底临界点算不算。也碰到过一些题表述比较严谨，两类以上会加上括号说明是含两类的，这样学生就能比较明确题意。但是碰到那些不加括号说明的题，学生很自然地就会思考：“20以内是否包括20？”学生会思考：“没有加括号是否说明20以内不包括20？”而翻阅教材，无论是新授课还是练习中，都没有特别说明，于是学生的脑海里一片混乱。

查阅了一些资料，有认为：教材里，10以内数的认识包括10，万以内数的认识也包括10000，现行教材1～10各数的认识时也包含10。这就明确了，其实我们在说10以内的数时，已经约定俗成包含了10。而大学《数论》中也有这方面的介绍，10以内包括10，属于概念的内涵和外延的范畴。另外，在其他领域，刑法上称以上、以下、以内也都是包括本数，但需要补充的是所称的“不满”、“以外”，又不包括本数。

至此，不得不感叹中华文字的博大精深，但是在严谨的数学面前，我觉得教材应该在第一次涉及“以内”这一内容时有统一的规定，在学生第一次碰到时就印象深刻，也就不会在后续学习中出现混乱。

数学问题是人们在生活实践中发现和产生的。不可否认人教版新教材的确在很多地方都值得赞颂，但是它确实也存在着一些避重就轻的问题。数学知识有时确实不需要教材说得很详细，但是对于那些会引起学生疑惑的问题，教材有必要通过各种呈现方式给出一个正确的定义，这样才能有利于教师把握方向，更能体现教材的地位与作用。

（责编 金 铃）endprint

小学数学人教版新教材，是以《义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，无论是编排结构，还是呈现形式，都是科学及新颖的。比如主题图、情境引入与时俱进，为提升学生的数学素养提供了一个丰富多彩的数学大世界，有利于学生动手实践、自主探索、合作交流、体验成功，获得积极主动而又生动活泼的发展。但在实际教学过程中，却发现教材对一些数学问题都采取了回避处理的方式，使得教师在面对学生课堂上生成疑惑时，找不到明确的依据来答疑解惑，降低了数学课堂的学习效率，也让一些求知欲望强烈的学生认为数学是模棱两可的学科。下面就小学数学人教版教材第十册中的一些真实案例谈一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分数吗？

“真分数的定义：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。”这是教材给出的定义。

当把问题改成“当a为何值时，■是真分数？”时，学生很自然地想到：在这里“a=0”是否可取？

当课堂上产生此疑问时，班上学生有两种意见：

（1）“a=0”不可取，也就是说“不是真分数”。理由是“根据分数的意义：把一个物体或者多个物体看作一个整体，平均分成若干份，取其中的几份，可以用分数来表示。”这里“一个物体或者多个物体必须是存在的”，表示没有，一个没有的东西怎么能拿来平均分？所以学生很理所当然地认为“■不是分数”。既然■不是分数，那么它也就谈不上是真分数了。理由很充分，这样想的学生教师给予肯定：会用学过的知识进行推理，既然不是一个分数，就不必讨论它是否是真分数。

（2）“a=0”可取。理由：分数与除法之间的关系“被除数÷除数=被除数/除数”，而我们只约定0不可做分母，并未约定0不可做分子，因此“■是分数”，又因为分子比分母小，所以“■是真分数”。从分数与除法之间的关系入手，证明了■是一个分数，又从真分数的定义出发，证明了■就是一个真分数，显然也是一个充分的理由。

以上学生的这两种理由都是合情合理的，但是数学对于是非的判断只有一种答案。到底谁对谁错？作为教材，面对这样的问题，是否也应该在教材中给出明确的定义？如果教材能够清楚地对“■”这样的分数有明确的定义或者归类，那么学生产生的这种想法就能够很快地在课堂上得到释疑，也就能增加他们对知识探索的兴趣，增强他们学习数学的积极性。

课后，我查过一些资料，有些资料把“■”这样的分子是0的分数定义为“零分数”。“零分数”的概念：分子为0（分母不为0）的分数即为零分数。

意义：零作分母时无意义，零作分子时有意义，但所得的结果永远是零。

例如，■把某数分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）当m=0时，■=■=0。即：当分子是0时，分数值等于0。

例如，■=0。

（2）当n=1时，■=■=m。即：当分母是1时，分数值就是分子。根据补充定义，任何整数m都可以用■来表示，从这个意义上讲，整数是特殊的分数，整数集是分数的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

从分数的意义中可以看出“零分数”和“分数形式的整数”都是分数的一种特殊形式。

尤其是“零分数”，在数学理论中，是把它作为一个数学概念出现的，即：分子是零的分数叫做零分数。

“零分数”的实际意义是整数“0”的分数表现形式。它的本质是整数。尤其是“0”在数学运算中有着它特殊的性质，在很多数学概念中对“0”都要做明确的限定。

在分数与倒数的矛盾点上应该对“零分数”做同样的限定，在这里边应该有两处有明确的限定：

（1）根据倒数的定义可知，求一个数的倒数（0除外——因为0不能做除数，所以0没有倒数），就是1除以这个数所得的数。

（2）为了简便，求一个分数（零分数除外）的倒数，调换一下这个分数的分子与分母的位置就可以。

以上其实是对“■是否是真分数”的一个很好的诠释。

如果教材能对“零分数”也有这样明确的定义，那么学生的课堂生成的疑惑就不用等着教师课后查阅大量资料再去处理。

【疑惑二】带分数是假分数吗？

首先，教材给出带分数的定义是非常简单的，“像1■，1■……这样的分数叫带分数。”接下去的内容就是把假分数化成整数或者带分数，并没有强调带分数与假分数的关系。学生在对分数进行分类时，如果只将分数分成真分数和假分数，很多学生就会质疑是否将带分数归为假分数这一类。因为很少学生会从带分数其实是假分数的另外一种书写形式出发考虑。因此他们将分数归为真分数、假分数、带分数这三类，其实是忽略了带分数和假分数之间的密切关系。所以教师在教学时应该补充带分数与假分数的关系：它们犹如长方体和正方体之间的联系，正方体是特殊的长方体，带分数是假分数的另外一种形式，它隶属于假分数，也就是说带分数是特殊的假分数。但如果说带分数是特殊的假分数，那么整数也可以化成假分数，是否可以说整数也是特殊的假分数，而对于这些问题，教材似乎又回避了。在面对一些求知欲强烈的学生，个人觉得教材应该给个严谨的定义，以便满足学生好学的心理，更加让学生建立数学是门严谨的学科的观念，而不是有漏洞的，不够完整的。

【疑惑三】“20以内2的倍数”包括20吗？

20以内，到底是否包括20？碰到过许多类似的问题，例如《统计》里问“喜欢两类书本以上的人占总人数的几分之几？”每当遇到这些问题，学生总会质疑到底临界点算不算。也碰到过一些题表述比较严谨，两类以上会加上括号说明是含两类的，这样学生就能比较明确题意。但是碰到那些不加括号说明的题，学生很自然地就会思考：“20以内是否包括20？”学生会思考：“没有加括号是否说明20以内不包括20？”而翻阅教材，无论是新授课还是练习中，都没有特别说明，于是学生的脑海里一片混乱。

查阅了一些资料，有认为：教材里，10以内数的认识包括10，万以内数的认识也包括10000，现行教材1～10各数的认识时也包含10。这就明确了，其实我们在说10以内的数时，已经约定俗成包含了10。而大学《数论》中也有这方面的介绍，10以内包括10，属于概念的内涵和外延的范畴。另外，在其他领域，刑法上称以上、以下、以内也都是包括本数，但需要补充的是所称的“不满”、“以外”，又不包括本数。

至此，不得不感叹中华文字的博大精深，但是在严谨的数学面前，我觉得教材应该在第一次涉及“以内”这一内容时有统一的规定，在学生第一次碰到时就印象深刻，也就不会在后续学习中出现混乱。

数学问题是人们在生活实践中发现和产生的。不可否认人教版新教材的确在很多地方都值得赞颂，但是它确实也存在着一些避重就轻的问题。数学知识有时确实不需要教材说得很详细，但是对于那些会引起学生疑惑的问题，教材有必要通过各种呈现方式给出一个正确的定义，这样才能有利于教师把握方向，更能体现教材的地位与作用。

（责编 金 铃）endprint

小学数学人教版新教材，是以《义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，无论是编排结构，还是呈现形式，都是科学及新颖的。比如主题图、情境引入与时俱进，为提升学生的数学素养提供了一个丰富多彩的数学大世界，有利于学生动手实践、自主探索、合作交流、体验成功，获得积极主动而又生动活泼的发展。但在实际教学过程中，却发现教材对一些数学问题都采取了回避处理的方式，使得教师在面对学生课堂上生成疑惑时，找不到明确的依据来答疑解惑，降低了数学课堂的学习效率，也让一些求知欲望强烈的学生认为数学是模棱两可的学科。下面就小学数学人教版教材第十册中的一些真实案例谈一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分数吗？

“真分数的定义：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。”这是教材给出的定义。

当把问题改成“当a为何值时，■是真分数？”时，学生很自然地想到：在这里“a=0”是否可取？

当课堂上产生此疑问时，班上学生有两种意见：

（1）“a=0”不可取，也就是说“不是真分数”。理由是“根据分数的意义：把一个物体或者多个物体看作一个整体，平均分成若干份，取其中的几份，可以用分数来表示。”这里“一个物体或者多个物体必须是存在的”，表示没有，一个没有的东西怎么能拿来平均分？所以学生很理所当然地认为“■不是分数”。既然■不是分数，那么它也就谈不上是真分数了。理由很充分，这样想的学生教师给予肯定：会用学过的知识进行推理，既然不是一个分数，就不必讨论它是否是真分数。

（2）“a=0”可取。理由：分数与除法之间的关系“被除数÷除数=被除数/除数”，而我们只约定0不可做分母，并未约定0不可做分子，因此“■是分数”，又因为分子比分母小，所以“■是真分数”。从分数与除法之间的关系入手，证明了■是一个分数，又从真分数的定义出发，证明了■就是一个真分数，显然也是一个充分的理由。

以上学生的这两种理由都是合情合理的，但是数学对于是非的判断只有一种答案。到底谁对谁错？作为教材，面对这样的问题，是否也应该在教材中给出明确的定义？如果教材能够清楚地对“■”这样的分数有明确的定义或者归类，那么学生产生的这种想法就能够很快地在课堂上得到释疑，也就能增加他们对知识探索的兴趣，增强他们学习数学的积极性。

课后，我查过一些资料，有些资料把“■”这样的分子是0的分数定义为“零分数”。“零分数”的概念：分子为0（分母不为0）的分数即为零分数。

意义：零作分母时无意义，零作分子时有意义，但所得的结果永远是零。

例如，■把某数分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）当m=0时，■=■=0。即：当分子是0时，分数值等于0。

例如，■=0。

（2）当n=1时，■=■=m。即：当分母是1时，分数值就是分子。根据补充定义，任何整数m都可以用■来表示，从这个意义上讲，整数是特殊的分数，整数集是分数的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

从分数的意义中可以看出“零分数”和“分数形式的整数”都是分数的一种特殊形式。

尤其是“零分数”，在数学理论中，是把它作为一个数学概念出现的，即：分子是零的分数叫做零分数。

“零分数”的实际意义是整数“0”的分数表现形式。它的本质是整数。尤其是“0”在数学运算中有着它特殊的性质，在很多数学概念中对“0”都要做明确的限定。

在分数与倒数的矛盾点上应该对“零分数”做同样的限定，在这里边应该有两处有明确的限定：

（1）根据倒数的定义可知，求一个数的倒数（0除外——因为0不能做除数，所以0没有倒数），就是1除以这个数所得的数。

（2）为了简便，求一个分数（零分数除外）的倒数，调换一下这个分数的分子与分母的位置就可以。

以上其实是对“■是否是真分数”的一个很好的诠释。

如果教材能对“零分数”也有这样明确的定义，那么学生的课堂生成的疑惑就不用等着教师课后查阅大量资料再去处理。

【疑惑二】带分数是假分数吗？

首先，教材给出带分数的定义是非常简单的，“像1■，1■……这样的分数叫带分数。”接下去的内容就是把假分数化成整数或者带分数，并没有强调带分数与假分数的关系。学生在对分数进行分类时，如果只将分数分成真分数和假分数，很多学生就会质疑是否将带分数归为假分数这一类。因为很少学生会从带分数其实是假分数的另外一种书写形式出发考虑。因此他们将分数归为真分数、假分数、带分数这三类，其实是忽略了带分数和假分数之间的密切关系。所以教师在教学时应该补充带分数与假分数的关系：它们犹如长方体和正方体之间的联系，正方体是特殊的长方体，带分数是假分数的另外一种形式，它隶属于假分数，也就是说带分数是特殊的假分数。但如果说带分数是特殊的假分数，那么整数也可以化成假分数，是否可以说整数也是特殊的假分数，而对于这些问题，教材似乎又回避了。在面对一些求知欲强烈的学生，个人觉得教材应该给个严谨的定义，以便满足学生好学的心理，更加让学生建立数学是门严谨的学科的观念，而不是有漏洞的，不够完整的。

【疑惑三】“20以内2的倍数”包括20吗？

20以内，到底是否包括20？碰到过许多类似的问题，例如《统计》里问“喜欢两类书本以上的人占总人数的几分之几？”每当遇到这些问题，学生总会质疑到底临界点算不算。也碰到过一些题表述比较严谨，两类以上会加上括号说明是含两类的，这样学生就能比较明确题意。但是碰到那些不加括号说明的题，学生很自然地就会思考：“20以内是否包括20？”学生会思考：“没有加括号是否说明20以内不包括20？”而翻阅教材，无论是新授课还是练习中，都没有特别说明，于是学生的脑海里一片混乱。

查阅了一些资料，有认为：教材里，10以内数的认识包括10，万以内数的认识也包括10000，现行教材1～10各数的认识时也包含10。这就明确了，其实我们在说10以内的数时，已经约定俗成包含了10。而大学《数论》中也有这方面的介绍，10以内包括10，属于概念的内涵和外延的范畴。另外，在其他领域，刑法上称以上、以下、以内也都是包括本数，但需要补充的是所称的“不满”、“以外”，又不包括本数。

至此，不得不感叹中华文字的博大精深，但是在严谨的数学面前，我觉得教材应该在第一次涉及“以内”这一内容时有统一的规定，在学生第一次碰到时就印象深刻，也就不会在后续学习中出现混乱。

数学问题是人们在生活实践中发现和产生的。不可否认人教版新教材的确在很多地方都值得赞颂，但是它确实也存在着一些避重就轻的问题。数学知识有时确实不需要教材说得很详细，但是对于那些会引起学生疑惑的问题，教材有必要通过各种呈现方式给出一个正确的定义，这样才能有利于教师把握方向，更能体现教材的地位与作用。

（责编 金 铃）endprint