用虚设零点法解函数极值问题

浙江省绍兴鲁迅中学柯桥校区 田 萌 （邮编：312030）

解决有关函数极值问题，一般都是通过求导函数的零点求出极值点来实现，然而，有些时候这一招却不灵啦，请看下例：

例1 已知函数f（x）＝ax2－2x＋lnx有两个极值点，证明：f（x）的极小值小于－.

分析 第一步：求定义域.函数f（x）＝ax2－2x＋lnx的定义域为（0，＋∞）.

第二 步：求 导.f′（x）＝ 2ax－2＋

第三步：求极值点.

令g（x）＝2ax2－2x＋1，函数f（x）＝ax2－2x＋lnx有两个极值点的必要条件是g（x）＝2ax2－2x＋1＝0当x＞0时有两个不等实根.

设此时2ax2－2x＋1＝0的两根为x1、x2，且x1＜x2.

当0＜x＜x1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，x1）上单调递增；

当x1＜x＜x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上单调递减；

当x＞x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（x2，＋∞）上单调递增.

第四步：求极小值.

怎么办？

设f′（x）的零点为x2，则2ax22－2x2＋1＝0，

令h（x）＝lnx－x，h′（x）＝－1.x＞1时，h′（x）＜0，h（x）在（1，＋∞）上是减函数，所以当x＞1时，lnx－x＜－1，由此.

故f（x）的极小值小于－.

下面再看两个例子.

例2 已知函数f（x）＝x3－x2＋axa（a∈R）.若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.

分析 三次函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点等价于：

①函数单调且函数值不同号；②函数极大值小于0或极小值大于0.

因此，求导，得f′（x）＝x2－2x＋a，

因 △ ＝4－4a＝4（1－a）.

① 若a≥1，则△≤0，所以f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增.

又因为f（0）＝－a＜0，f（3）＝2a＞0，所以f（x）在（0，3）上有零点.

所以，当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.

②若a＜1，则△＞0，

所以f′（x）＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x1、x2，（x1＜x2）.

当 － ∞ ＜x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在（－∞，x1）上单调递增；

当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上单调递减；

当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在（x2，＋∞）上单调递增.

所以f（x）在x1处取值极大值，在x2处取得极小值.

于是应该有f（x1）＜0或f（x2）＞0.

怎么办？用虚设零点法.

一方面，因为x1、x2是方程f′（x）＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a.

令f（x1）·f（x2）＞0，解得a＞0.

而当0＜a＜1时，f（0）＝－a＜0，f（3）＝2a＞0，

故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述，a的取值范围是（0，＋∞）.

例3 给定函数φ（x）＝x2－2tlnx（t＞0），t为何值时，方程φ（x）＝2tx有唯一解.

解 记G（x）＝φ（x）－2tx＝x2－2tlnx－2tx，则函数G（x）的定义域为（0，＋∞）.若方程φ（x）＝2tx有唯一解，即G（x）＝0有唯一解.

G′（x）＝2x－－2t＝（x2－tx－t），令G′（x）＝0，得x2－tx－t＝0.

因为t＞0，x＞0，

当x∈ （0，x2）时，G′（x）＜0，G（x）在（0，x2）上是单调递减函数，

当x∈ （x2，＋ ∞）时，G′（x）＞0，G（x）在（x2，＋∞）上是单调递增函数，

故x＝x2时，G′（x2）＝0，G（x）min＝G（x2）.

因为G（x）＝0有唯一解，故G（x2）＝0.

所以2tlnx2＋tx2－t＝0.

又t＞0，故2lnx2＋x2－1＝0 （＊）

设函数h（x）＝2lnx＋x－1，因在x＞0时h（x）是增函数，故h（x）＝0至多有一解.

故t＝时，方程φ（x）＝2tx有唯一解.

从上面三个例子不难看出，“虚设零点法”对于解决一些涉及极值问题的难题很有作用，希望上述例子能给大家以启发，掌握此法.