三角形一个优美结论的空间拓广

福建省大田市第一中学 田富德 （邮编：366100）

2011日本数学奥林匹克有如下一道题：

设H是锐角ΔABC的垂心，M是边BC的中点，过点H作AM的垂线，垂足为P.证明：AM·PM＝BM2.

图1

证法1 如图1，设BH与AC交于点X，AH的中点为N.

因为 ∠AXH＝ ∠APH＝90°，所以，点P、X在以AH为直径的圆上（若AB＝AC，则P、H重合，X也在以AH为直径的圆上）.于是，∠AXN＝∠XAN.

又因为∠BXC＝90°，所以，点X在以BC为直径的圆上.

易知，∠CXM＝ ∠XCM，且XM＝BM.

由∠NXM＝180°－（∠AXN＋∠CXM）＝180°－（∠XAN＋∠XCM）＝90°，

则MX与以AH为直径的圆切于点X.

于是，AM·PM＝MX2＝BM2.

图2

文［1］提供了以上证法1，纯几何证法巧妙，作辅助线是关键.由于试题需要证明的是线段的数量关系，故笔者借助于向量给出了证法2.向量方法避免了作辅助线的困难，也易于推广，从证法2的证明过程中，知试题条件中的“锐角三角形”可以改为“任意三角形”.

众所周知，四面体四条高并不一定交于一点，也就是说不一定有通常意义下的垂心.经过笔者探究，倘若四面体四条高交于一点，则保留了试题的优美性质，向量方法在几何证明中的体现了强大功能.现以定理形式，叙述如下：

定理 设四面体ABCD四条高交于一点H，M是面BCD的重心，过点H作AM的垂线，且垂线与直线AM相交于点P，则有

故有18AM·PM＝BC2＋CD2＋DB2.

1 中等数学编辑部.2010－2011国内外数学竞赛题及精解［J］.中等数学，2012增刊（2）