数学学习中存在的“懂而不会、会而不能”现象的成因与对策——改良高考复习、提升高考成绩

江苏省宝应县曹甸高级中学 李兆江 （邮编：225803）

“懂而不会、会而不能”到“懂而会、会而能”体现了学生日趋完善的认知过程，这个过程受内因（自已学）与外因（教师教）共同推进.问题是数学的心脏，对学生数学学习中存在“懂而不会、会而不能”现象的成因与对策研究，自然离不开解决问题，更离不开高考.当下，全国的高三师生都在紧张有序备战2013年高考.此刻，若能充分关注学生数学学习中的“懂而不会、会而不能”现象并尽可能消除之，对改良高考复习、提升高考成绩无疑是大有裨益.下面，笔者就高三数学复习中存在“懂而不会、会而不能”现象的成因与应对策略和大家交流.

1 遵循教学规律、明确教学目的，消除“懂而不会、会而不能”现象

规律是指做事时必须要遵守的客观性、因果性、逻辑性、顺序性、层次性等内在规则.什么是教学规律？这里不再罗列.为了合理遵循教学规律，消除“懂而不会、会而不能”现象，笔者就当前教学实践中的一些现象作分析.

纵观当前的教学现状，教师是教得“多、乱、浅、累”，不能做到教得“精、清、透、轻（松）.试卷如山，题目太多，苦练.讲条理，讲逻辑少.忽视理解，重视结果.忽视过程，忽视反思，忽视归纳总结.站得不高，看得不远，很少关注那些带观念性的、可以迁移的东西，学生则难以养成好的习惯，考场上难以举一反三、触类旁通.

做数学，不练习不行.不练习，缺少体验，技能难以形成，也难以总结.让学生通过操练来获得体验、感受、感悟，并回顾、反思、归纳、总结，形成技能、经验、策略.

遵循规律做事，做任何事都应该有目的.目的不清楚做不好事.如果目的清楚，那就应该围绕目的来进行.教学也是如此，教师做教学，应遵循教学规律、明确教给学生什么.否则，对学生来说则是“照葫芦画瓢”，这是产生“懂而不会、会而不能”现象的根源.

笔者认为，教师非功利性做法是教学生在考场上靠得住、可以迁移到考场上去.概念理解了，知识熟悉了，方法掌握了，思想领会了，用思想串联知识、方法的结构图描绘了，分析问题、解决问题的能力提高了，养成了一个好的解题习惯，学会了思考，这些才是考生在考场上可以依靠的.“算法”，解决一类问题的步骤；“渔”，解一类题的方法，授之以鱼不如授之以渔；“宗”，言有宗，知识方法要有本源宗法，做题要有思想意识主宰.“算法”、“渔”、“宗”、技能、方法、思想、策略、意识等才是可以迁移.相反，别人告诉的不是自己想出来的那些解题过程难以迁移，答案难以迁移，技巧难以迁移等等.如通过求解函数应用问题，概括出解决一类问题的算法：（1）弄清影响函数变动的原因，选择自变量；（2）用自变量的代数式表示函数式中要用到的量；（3）列出函数式，明确定义域；（4）求出最值，并指出相应的自变量值；（5）回答实际问题的解决办法.这个算法不是解决一个问题，而是解决一类问题，是在高考考场上可以依靠的东西.对这些，不能一带而过，要形成文字，要板书，要多次呈现，让学生明确，让学生有抓手.这样，再见到这类问题时，学生就有招了，就知道该怎么下手，也就是“懂而会、会而能”了.

可以这样说，凡是有教育的地方就存在“懂而不会、会而不能”现象.为了消除这种现象，教育家们一直在作孜孜不倦的努力.“学而不思则惘，思而不学则殆”，这是大教育家孔子所思所悟.作为新时代的教育工作者更应与时俱进，充分吸取前人的研究成果，遵循教育规律，勤思教学目的，优化教学流程，力争避免学生“懂而不会、会而不能”现象的发生.

2 把握解题流程、教会学生思考，消除“懂而不会、会而不能”现象

做数学，离不开解题.解题活动应按照波利亚的“怎样解题表”来进行.简短来说，至少做到九个字：“有什么？做什么？怎么做？”.具体说，解题教学过程大致分成三个部分.第一部分：（1）理解题意，明确有什么.（2）分析任务，明确做什么.（3）制定初步解题方案，明确该怎么做.第二部分：实施解题方案.第三部分：回顾反思.这三部分体现在教学流程中，师生该如何做呢？

当前解题教学的现状是：该教师做的教师不专心去做，该学生做的教师抢过来做了.题意理解是轻描淡写，回顾反思是基本不做，“狠做”过程表达.而这个“狠做”也不是第一部分基础之上的狠做，不讲解法产生的思维过程，只是呈现解答，是教师做给学生看.笔者认为，题意理解后面的东西不应该由教师来呈现，教师应该认真做好第一部分，也就是要教会学生面对一个新问题，该怎样读题、审题，该怎样一步一步去分析，该怎样转化等等.但是，分析得好不等于就已经做出来了，要完成解题过程还有很长的路要走.谁去走？应该由学生去走，由他们去实践、经历.在这个过程中还可能出现新情况新问题，教师可以再适时介入，启发、引导，帮助学生克服解题过程中出现的困难，与学生一道走向终点，真正让学生“懂而会、会而能”.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，应让学生经常有“躬行”的机会.

教师当的是导演而不是演员.要多做“技术性强”的活，少干“卖体力”的事.好的教师“想给学生听”，差的教师做给学生看.教师要做好“想给学生听”，就是教学生“学解题”.首先是“学”解题，然后学生才能够自己独立去解题.有学生说“老师讲的我都听得懂，回家后让我自己想就不会了”，这是典型的“懂而不会、会而不能”.怎么“学”解题？怎么消除“懂而不会、会而不能”现象？最好做法是让学生学思考.教师要讲“怎么想到的”、“怎么知道这么想的”才是教学生“学会思考”，才是数给学生回家会想、会做的本领.尤其对那些不善于解题的大多数学生，更要教他们学会思考.不讲“怎么想到的”，原来不会思考的仍然不会思考.要学会思考，怎样“从无到有”，“从不会到会”，“从不能到能”呢？“理解题意”是核心.善于解题的人用一半的时间理解题意，用另一半时间完成解答.学生不能很好解题的最重要原因，是没有树立重视理解题意的意识，没有养成理解题意的良好习惯，更没有掌握如何理解题意的方法.

由 ② ①，得a＝2，b＝－4，故a＋3b＝－10.

思维过程能这样充分暴露，是从周期定义出发，遵循的是概念、方法指导思考.概念是思维的细胞，没有概念无法思维.数学思维是抽象思维，是逻辑思维，其特点之一是用概念思考.要养成从基本概念出发，思考和解决问题的习惯.当找到3a＋2b＝－2时，发现不是整体思想求解，是方程思想在指引你从题中寻找a、b另一等量关系，这是思想指导思考.爱因斯坦说：“不下决心培养思考习惯的人，便失去了生活的最大乐趣.”把数学课上出“数学味”来才能让学生获得乐趣.把思维的教学落到实处，教会学生思考，就是“数学味”.

为了更好地贯彻教会学生思考，消除“懂而不会、会而不能”现象，教师的日常教学要遵循上述合理的解题流程，多讲着手解题的启发性提示语.如：问题是什么？现有什么？还缺什么？它们怎样表示？还能怎样表示？它们有什么关系？它是否与其它问题有联系？能否利用这个联系？等等.往往追问到最后，问到条件与结论的衔接点，思路和方法就自然流露出来了.

教会学生思考，教学还要从学生实际出发.教师要提好问题，提好问题应与学生已有经验相对接，让学生感觉到“你老师能想到的，我差不多也能想到”.让学生与你共鸣，让学生感受过程的自然，否则又是“懂而不会、会而不能”.不要以为，我讲得很清楚，你就应该知道了，掌握了.你讲过了，即便你讲到点子上，但是，到他能够掌握，距离还很远很远.教学任务是什么？是学生“懂而会、会而能”.教师不能着急，着急的一个直接结果就是“告诉”，就是直奔结果，忽视过程，是不讲思维过程的自己说，对学生而言是“夹生饭”，这又是“懂而不会、会而不能”.学习是任何其他人都代替不了的，能够让学生通过自己思考获得，就不要轻易告诉他，这样才能让他“懂而会、会而能”.长此以往，他就学会了如何思考，也就真正获得了如何解决新问题能力.

3 善待通性通法、提炼问题本质，消除“懂而不会、会而不能”现象

当前的另一种现象是迫于高考压力，对常规题、通性通法是拼命讲、拼命练.各地方、各级别的高考研讨会也是同一呼声，认为平时的讲、练、评只能应对偏易、中档试题.难题，是命题人精心设置的创新题，只有依靠学生天生的悟性去解决，对学生能力的培养处于一种消极、被动局面，这是产生“懂而不会、会而不能”现象的另一根源.

在这种认识之下，日常的教学流程是学生先做，老师先改后评，评的是学生做不对的问题，然后再找相似问题，甚至是变换一下数据，再让学生练习，称之为跟踪纠错.对学生做对的问题是视而不见，见了也不知道讲什么，更谈不上如何讲了.不能从学生的思维中准确反思构建问题的本质.长期傻练，学生思维变得呆板、僵化，应变能力弱.此时，通性通法成了学生思维的桎梏，滋长了“懂而不会、会而不能”现象的发生.

新课改已近十年，执行新课改理念应精益求精，不应浮于表面.要把握其精髓，真正落实到平时教学中.《普通高中数学课程标准（实验）》提出了十大理念，其中第七条：“强调本质，注意适度形式化”.在数学教学中，学习形式化表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.第四条是针对数学思维能力的培养提出，应让学生不断地经历直观感知、观察发现、反思与建构等思维过程.要求教师平时教学要引导学生具体问题具体分析，以通性通法为基础，要力争揭晓数学问题的本质.应在合理发挥形式化作用与揭示数学本质两方面寻求一种动态平衡.

如何揭示数学问题本质？靠回顾反思.反思可以看清问题的本质.“反思性认知”也叫做元认知，是对自己认知的认知.可更加深入地研究.比如，条件分别用在哪里了，各起了什么作用？哪个条件是关键条件？你认为关键的一步是什么？解这类问题的一般步骤是什么？多种解法之间的比较，哪种最好？具有通用性.运用了哪些概念、思想、方法？条件改变一下呢？一般化呢？等等.也就是还要真正设置变式与拓展教学，激活学生思维，才能把反思的东西迁移到陌生的问题中，让学生做到“懂而会、会而能”.

案例2 如图1，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，D为AB中点.求证：BC1∥平面A1CD.

通性通法：

法一 如图2，取线段A1B1中点D1，连结BD1、C1D1、DD1，

易证CD∥C1D1，A1D∥BD1，从而平面BC1D1∥平面A1CD⇒BC1∥平面A1CD.

法二 如图3，连结B1C交BC1于P点，易知P点为BC1中点，再取线段A1C中点Q，连结PQ、QD，易证四边形PQDB为平行四边形，则BP∥QD⇒BC1∥平面A1CD.

反思：“你是怎么知道要连结B1C，取线段A1C中点呢？”这一问，方法就能出来.能让学生初步体会平面中的平行线、中位线等与平行有关的定理，在解决立体几何中平行问题的应用，体会“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化与交融.倘若教学仅停留在通法层面，当学生再做类似问题时，思维肯定还是“云里来、雾里去”，知道怎么做，而无从下手，甚至无功而返，这是“懂而不会、会而不能”的表现.此时教师应就问题的本质继续追问，“要证明BC1∥ 平面A1CD，只要证明BC1平行于平面A1CD内的一条直线就可以了.如图4，哪条直线呢？”联系条件，就是经过BC1与AB的平面与平面A1CD的交线.“交点在哪里呢？”，条件中已有两平面的一个公共点D，只需再找一个公共点，就是连结AC1，线段AC1的中点O就是.这正是应用直线与平面平行判定定理解决问题的本质.评价时，还应该多问一句，“在平面A1CD内，还能找到其它直线与BC1平行吗？”，这样就开阔了学生的思路，发展了思维.实际上，这道题的证明方法很多.

法三 如图5，图中现有一个包含BC1的平面，就是平面BCC1B1.因此画出这个平面与平面A1CD的交线CE，易证明CE∥BC1⇒BC1∥平面A1CD.

法四：如图6，反思经过BC1与AB的平面，关注线段BC1的另一端点，可知经过BC1与A1C1的平面与平面A1CD已有一个公共点A1，“另一公共点在哪儿呢？”这又是一个很有教育意义又具挑战性的问题.通过将三棱柱补成四棱柱易证明A1M∥BC1⇒BC1∥平面A1CD.

这一系列的反思过程，学生感受的是要善待通性通法，要从通法层面寻求新的生长点，要反思问题本质，从多方位、多角度应用直线与平面平行判定定理解决问题，体验的是如何将空间问题向平面转化、如何运用割与补的思想解决问题.这是真正落实了立体几何对学生空间想象能力的的培养.若能做到这样紧扣问题本质教学，学生哪需做那么多习题.只有这样，学生才能从题海中解放出来，才能会一题而能解一类题，进而在考场上才能游刃有余，这才是真正意义上的“懂而会、会而能”.也只有这样，学生才能从数学解题中找到成功的快感，才能热爱数学.体会到不再是数学枯燥乏味，而是数学的魅力无穷.这是消除学生数学学习中“懂而不会、会而不能”现象的最大内驱力.

结束语：教师多一分思考，学生少一分辛劳.消除学生数学学习中“懂而不会、会而不能”现象，改良当前高考复习，提升高考成绩，对每一位高三教师来说是任重而道远.但若能做到教学规律不违背，教会思考做得对，提炼本质常到位，在以能力立意的试题前面，学生才能达到以 “懂而会、会而能”的水平去轻松面对.

1 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003

2 王光明、杨蕊.数学学习中的“懂而不会”现象［J］.中学数学教学参考，2012、10（上旬）