初中数学课堂教学中应当渗透一点合情推理
2013-04-29丁祖元
丁祖元
【摘 要】合情推理就是一种合乎情理的推理，是指根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性，特别注重发展学生的演绎推理能力，忽视了学生合情推理能力的培养，这样一来，势必使学生的推理意识与能力形成缺陷，使学生的创造性思维受到抑制。从这个角度与意义上讲，在初中数学课堂教学中，除了努力培养学生的演绎推理能力外，还应适当渗透一点合情推理。
【关键词】数学教学 合情推理 推理能力
美国著名数学家波利亚说：“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性，特别注重发展学生的演绎推理能力，忽视了学生合情推理能力的培养，这样一来，势必使学生的推理意识与能力形成缺陷，使学生的创造性思维受到抑制。从这个角度与意义上讲，在初中数学课堂教学中，除了努力培养学生的演绎推理能力外，还应适当渗透一点合情推理。
合情推理就是一种合乎情理的推理，是指根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、顿悟、灵感等思维形式。波利亚等数学教育家认为，演绎推理是确定的、可靠的；合情推理则带有一定的风险性，而在数学中合情推理的应用与演绎推理一样广泛。《数学课程标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”，也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。
合情推理是一种创造性的思维活动，合情推理能力是数学能力的重要内容。在平时的数学课堂教学中，合理使用合情推理与演绎推理，会给我们的教学增光添彩。
一、恰当地应用合情推理，充分发挥其较强的类比联想的能力
数学上的类比是指依据两类数学问题的相似性，有可能将已知的一类数学问题的性质（解法）迁移到另一类未知的问题上去的一种合情推理。其表现为善于根据问题的特征（结构、属性等），联想某一熟悉的问题，依据它们在某些方面相似或相同之处，去归纳、概括所给问题的概念、性质或推断解题方法或思路。
例：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求如图放置的两个正方形的边长。
解析：目标问题对学生来说显得比较复杂，通过回忆，寻找原问题，联想到课本例题：在一个直角三角形中求一个正方形的边长。通过作斜边上的高，再利用相似三角形的相关知识，就可以得到正方形的边长。
利用类比的思维方法，同样作CD⊥AB，容易求得CD= 。设一个正方形的边长为x，利用△CEF∽△CAB得到： = ，解得x= ，即正方形的边长为 。
进一步思考，我们可以扩展到求如图2放置的n个正方形的边长。利用△CEF∽△CAB得到：
= ，解得x= ，即正方形的边长为 。
还可以进一步让学生思考：如果将正方形换成半圆，解题方法会变吗？结论又会怎样呢？
二、恰当地应用合情推理，合理使用其较强的揭示规律的能力
归纳推理是思维过程中从特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。其表现为善于根据所给问题的形式、结构，通过观察、试验、分析和归纳，猜想一般的结论，或善于将所给问题与简单的、熟悉的情况作对比分析，从中寻找规律、归纳结论。
例：如图3，将边长为1的等边三角形△OAP沿x轴正方向连续平移2013次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2013的位置，则点P2013的坐标为（ ， ）。
容易发现P1、P2、P3、…、P2013的纵坐标为 ，如果要直接写P2013的横坐标，学生还是有一定困难的。因此，我们可以首先写出前几个点P1、P2、P3的横坐标，然后观察点的下标与横坐标的关系，最后寻求一般规律。故不妨作如下分析：
所以P2013的横坐标为 +2012= ，即P2013的坐标为（ ， ）。
通过上面“由特殊到一般”的合情推理，我们可以知道Pn的坐标为（ ， ）。
三、恰当地应用合情推理，尽可能避免不必要的分类讨论
“分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但是有些问题若能认真分析，通过恰当的合情推理，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。
例：如图4，在Rt△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b是方程x2-10x+18=0的两个根，P是AB斜边上一点，过P作BC、AC的平行线，分别交AC、BC于D、E两点。设AP=x，矩形CDPE的面积为S，试用含x的代数式表示S。
很多学生会根据方程x2-10x+18=0求出两个根，然后分a=5+ ，b=5- 或a=5- ，b=5+ 两种情况作分类讨论，从而给解题带来了相当大的麻烦，做完后发现，两种情况的结果是一样的，这就值得我们进行反思。
事实上，我们作一点合情推理，S=PD·PE，由△APD∽△ABC，△PBE∽△ABC容易得到PD= ，PE= ，所以S= 。根据题意ab=18，因此，只要求出c，问题就解决了。a+b=10，a2+2ab+b2=100，将ab=18代入得a2+b2=64，c=8，所以S= = =- x2+ x。像这种可以整体处理的问题，不必做分类讨论，而解决问题的关键是利用合情推理进行分析。
四、恰当地应用合情推理，进行合理的估算，优化解题过程
对于一道数学题，由于审视的角度不同，往往会得到多种不同的解法。平时的教学中，教师常常会引导学生通过联想、类比、迁移获得多种解法。事实上，有些数学问题，如果恰当地应用一些合情推理，进行合理的、简单的估算，那么，解题过程就会优化。
例：如图5，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动。在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。试问：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
由于无法判断AD、FC、BC的大小，常规解法是分AD为斜边、FC为斜边、BC为斜边三种情况进行分类讨论。但是，我们细致分析，发现BC不能为斜边，因此解答过程可以优化。
在Rt△ABC中易知AC=2BC=12，若设AD=x（0
合情推理能力的形成与发展是一个渐行渐近的过程，教师不能急于求成，要根据学科特点和学生实际，善于抓住时机，因势利导，努力把握合情推理与演绎推理的结合点，在潜移默化中培养和训练学生的合情推理能力。同时，要帮助学生努力抓好“四基”，完善学生的知识网络、认知结构，着力培养学生的思维品质和个性品质；还要努力营造和谐的氛围，激发学生主动参与的兴趣，给学生创设主动参与的条件，为学生合情推理能力的形成与发展奠定基础。当然，在合情推理能力的培养过程中，也不能忽视演绎推理的重要性，更不能以合情推理来代替数学证明、解答，应将合情推理与演绎推理结合起来，视合情推理为演绎推理的前奏、演绎推理为合情推理的升华，这样才能优化学生的思维品质，全面提升学生的推理能力。
【参考文献】
[1]弓爱芳，夏婧.新课程理念下对合情推理的再认识[J].中学数学研究，2006（02）.
[2]王建华.新课程中合情推理探索结论两例[J].上海中学数学，2009（09）.
[3]卜言春.合情推理在解题中的应用[J].数理化解题研究：高中版，2011（03）.
[4]缪芳.例谈“合情推理”在解题中的运用[J].福建中学数学，2008（11）.
（作者单位：江苏省张家港市教育局教研室）
