基于CPFS理论的数学解题阅读策略研究

张清仕

摘 要：数学阅读是个体运用自身CPFS理解题目的过程，良好的CPFS结构可以有效提高学生的数学解题能力. 本文提出了三种可优化学生的CPFS认知结构阅读策略，进而改善读题质量，达到提高解题能力的目的. 每种策略都配有一个教学案例来说明和验证阅读策略的有效性.

关键词：CPFS理论；数学解题；阅读策略

数学阅读是人们对数学文本的一种认知过程，在解题活动中学生通过阅读来确定题目文本的类型、含义和考点，学生若不能通过阅读很好地认知文本，将直接影响下一步的解题活动. 在解题活动中，阅读受题目文本的影响主要有题目的复杂性、抽象性以及题目缺失量. 本文基于南京师范大学喻平教授的CPFS理论，通过一定的阅读策略改善学生的CPFS认知结构，进而提高学生阅读题目的质量，最终达到提高解题能力的目的.

[?] CPFS理论与数学阅读

CPFS是由喻平教授提出的一种数学学习特有的认知结构，而阅读能力直接影响学生的数学认知活动，因此可以通过这种数学认知理论来分析阅读对解题活动的影响. 一个概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域（concept field，简称C域）. 比如：直线方程的一种形式y=kx+b，而Ax+By+C=0也是直线方程的另外一种形式，很多学生刚开始学习直线的时候就未能掌握这一点，也就是说其关于直线方程的C域不完整. 为一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系（concept system，简称C系）. 与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域（proposition field，简称P域）. 在一个命题集中，任意一个命题都至少与其他某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集为命题系（proposition system，简称P系）. 概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构，是对数学认知结构的精确描述，是数学学习特有的认知结构. 数学概念、命题作为“存在的事实”是一种陈述性知识；作为解决数学问题的基础和依据，它们又是可操作的程序性知识，可以说CPFS结构揭示了概念、命题之间的联系. 由于CPFS侧重阅读者自身的认知结构，因此在解题活动中通过构建良好的CPFS结构可以有效进行读题，提高解题能力.

[?] 解题过程中的三种阅读策略

1. 依模画样策略

历史上数学概念和理论的发展是从非抽象到抽象长时间积淀的结果，ε-δ语言就是高度抽象性的代表，但在微积分发展史上严密化定义是在微积分发明很长时间后才出现的，而我们阅读教材直接面对的是抽象化的文本，这就可能造成学生从抽象到非抽象的转换障碍，在具体实践中笔者引导学生进行依模画样策略的阅读收到较好效果.

2. 二次重写策略

二次重写策略，就是在学生对题目和解答进行完整阅读之后进行二次书写题目的过程，该方法的本质在于通过训练不断丰富和扩展学生CPFS结构中的P系结构，不断完善CPFS认知网络. 通过让学生完整地阅读题目和证明过程，然后进行二次重写训练，可以加深学生对该类问题的理解，不断完善学生的CPFS认知结构，再遇见类似题目时能够对题目文本进行更好的理解，同时也解决了讲解过之后会遗忘的问题.

读完之后笔者向学生提出以下几何问题：

1. 该题目属于哪类型题？

学生1：证明线段相等题.

学生2：平行四边形证明题.

教师：答得不错，准确说是平行四边形中的线段相等问题.

2. 该题目的条件有什么特点？

学生3：AB+BC=CD+AD从来没见过.

教师：对，AB+BC=CD+AD是一个线段和相等的条件，并且相加的两条线段不在同一直线上.

3. 该题目证明策略是什么？

学生4：作辅助线.

学生5：好像构造了一个平行四边形.

教师：该题的策略有两个：一是将线段和相等转化为线段相等，二是通过构造平行四边形证明线段相等.贯穿整个证明过程的还有很多角.

提问完毕后马上将证明过程擦掉，要求学生在10分钟内完成证明过程（学生事先不知道有这个环节）. 结果表明，有70%的学生完成了重写过程. 结束后又出了3道类似题目进行巩固练习.

评：通过完整阅读和二次重写策略，学生再见到线段和相等的条件或者是结论的时候就知道将折线想办法转换成一条线段，这就为逻辑展开提供了一个相对固定的认知模式，通过该模式可不断加深和拓展学生CPFS认知结构中的P系结构.

3. 图象表示策略

图象远比文字好理解，将抽象的文本转换为图象表示必然会大大提高学生对文本的感知能力和理解能力. 因此，将用文字表征的C域或P域转换为图象表示的C域或P域就是一种非常好的阅读策略.

[?] 结论

数学阅读是解题活动中的第一个环节，读题质量的好坏直接影响解题活动中的逻辑展开阶段. 通过三种数学阅读策略在具体的解题教学实践中的应用可以看出，良好的数学阅读策略可以改善学生脑中的CPFS认知结构，大大提高学生的读题质量. 数学题目千变万化，只要能够改善CPFS认知的阅读，都有可能提高解题能力. 这就需要教师在教学实践中不停地尝试新的阅读策略，研究这些策略对学生读题、解题的影响，进一步提高教学质量.