立足球类几何模型发展空间想象能力

刘入嘉

摘 要：发展学生的空间想象能力是高中数学课标的一个重要内容 ，由一道高考球内接三棱锥的分析和求解过程，通过类比、迁移、构造、扩展等方法，启发学生对空间的想象和推理，培养学生对空间图形的经验认识和想象能力.

关键词：球类模型；空间图形；空间想象

新课标在高中立体几何的学习中，遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，更加注重对学生的直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等能力的培养. 由于长方体兼具点、线、面各元素以及为各元素之间的关系的呈现提供了载体，所以新课标将长方体作为学生学习立体几何的起始模型，而将球与各种几何体联系起来，增加了几何元素，隐藏了更多的数量关系，同时也更加丰富了空间形式，为学生学习空间几何体，发展想象，理解各元素之间的关系提供了更多丰富的模型，并且在近几年的高考中也多涉及有关球类几何体，所以，高中数学教学对此类几何模型应给予足够的关注和重视.

例：一直正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为______.

我们知道长方体的顶点都可以构成两两垂直，题目中PA，PB，PC两两垂直，和由正三棱锥推知的PA，PB，PC长度分别相等，实际上就是球内接正方体的关于一个顶点构成的三棱锥，即正三棱锥的外接球就是正方体的外接球（如图2），进而可知△ABC是等边三角形，OP⊥面ABC，球心到截面ABC的距离就转化为直角三角形里一条直角边（球心与线面交点的连线）的长度，从而使问题得到解决.

这是极具代表性的球内几何问题，对于此类问题，我们还可以通过类比、迁移、联想等方法构造出一系列更多的空间图形，在学生的原有认知水平上，启发学生对图形的理解，发展学生的空间想象，如图3-图8：

结合建构主义“最近发展区”的学习理论，改变内接几何体的形状和与球的内接形式，图3-图8是遵循从整体到局部而构造出的一系列球内接的空间立体图形.

图3是我们常见常用的立方体内接于球内的模型，长方体是高中学习立体几何的初始模型，将其内接于球内，长方体原本的关系保持不变，但与球的结合就有了更多点线、线面、面面的关系，如球心到各面的距离、球心与各顶点的连线与各面之间的关系等，因此笔者建议将球内接长方体作为学习球内接空间体的基础模型，在深刻理解此模型空间关系的基础上，改变球内接几何体或内接形式，由于形变质不变，万变不离其宗，对其他的图形的理解和想象就有了基础，增加对整个空间几何体形成全面而系统的感知和掌握.

图4和图5是四棱锥内接于球的空间体，图4中由内接图形的底面是长方形和SA⊥底面ABC， 此可以理解为长方体的一半内接于球内. 因此，相应的空间关系没改变. 图5在图4的模型基础上，改变顶点的位置，使之形成正四棱锥，再上升底面至最大圆截面，便形成底面边长最大的球内接四棱锥. 通过这种动态的描述方式，增加了各图形之间的联系，也更能帮助学生对空间图形的理解和想象.

图6和图7是球内接正三棱锥图形，顶点与底面的高度决定底边三角形的边长，将底面上升至最大圆截面时，底面三角形边长最大，顶点到底面的距离相对缩短，继续上升底面三角形，底面三角形边长和顶点到底面的距离都将同时减小. 在这种动态的变化过程中，学生更能透彻地理解正三棱锥内接于球的空间形式. 图8则是在图6的基础上，仅仅使底面正三角形变为直角三角形，就构造出了新的空间形式，如面SBC⊥面ABC，S′O′⊥面ABC，SC=BC等，让学生在前两个模型学习的基础上理解此模型，就有了循序渐进的过程，减小了理解的难度，增加了学习的兴趣.

通过变换、加工创造出的一系列的球内接几何体的常见空间体，为学生提供了丰富的学习模型，多方面地促进学生思考，锻炼学生思维. 新课标注重知识的发生过程的展示，强调学生的空间感知和理解，这就需要教师多花工夫在知识的展示过程中，充分利用各种教学方式方法，利用先进的现代信息技术形象直观地展示知识的现实模型，由浅入深地引导，及时地启发学生，培养和发展丰富的空间想象能力，使之形成系统的空间结构和知识体系.

通过对上述高考问题的讨论，笔者认为发展学生的空间想象能力，还可以从以下几个方面进行：

1. 利用球类模型，联系生活实际，发展空间观念

空间观念是空间想象能力的基础，空间观念又依赖于我们对现实世界的认识和直观感知，即空间知觉. 众所周知，球类模型及球与其他几何体结合形成的空间模型在生活中广泛存在，如足球、球形别墅、水晶球装饰以及我们生活所在的地球等，都是大家熟悉且可见可感的具体物体. 根据从具体到抽象、从一般到特殊的教学原则，在具体的教学过程中，将实际生活中的这些具体模型引入几何概念，研究几何图形的性质，为学生动手操作和具体实践提供现实原型，帮助学生对空间观念进行构建，进而丰富空间经验，培养和发展学生的空间想象.

2. 增加实际球类模型与几何图形的联系，实现几何体各形式之间的转换

在立体几何的学习中，学生所获取的信息大都来自实物模型、几何图形、语言描述以及它们之间的转化，处理好这些形式之间的转换，将有助于学生空间想象能力的培养. 尽可能地运用实物引导教学，如将常见的足球与正方形的魔方呈现在学生面前，引导学生学习球类，结合具体分析各部分的连接情况及各元素的关系，再通过专业的几何语言进行描述，如线线垂直、平行，线面垂直等. 有了实物与描述语言之间顺利转化之后，便是如何在平面上呈现具体的立体几何图形——画图. 实现模型与图形之间的过渡，让学生学会将实物表现在平面上，引导学生在平面上表达点线、线线、线面各元素的关系，最终实现实物、图形、描述语言之间的两两翻译，在这种融会贯通的全方面训练的过程中，空间想象能力自然而然地得到提高.

3. 借助多媒体，增加对球类原型的加工、变换能力

几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关，因此，在现代技术的发展和支持下，利用几何画板等灵活地对图形进行加工、变换，从多方位和多样性对空间体进行呈现，这样使学生头脑中空间形式更加丰富和多样化，完成对空间模型的原始积累，为培养学生更高层次的空间想象能力（将抽象问题形象化的几何直觉能力）做好铺垫.

立足球类，将生活实际与抽象的学习进行联系，并构造出更多的空间形式和几何元素关系，为学生理解和分析空间元素提供丰富的模型，在现代信息技术的发展下，进行空间几何的教与学，将立体几何图形多维度进行直观的展示，丰富学生的经验，培养和发展学生的空间想象能力.

4. 渗透数学思想方法，培养空间想象能力技巧

中学教学基本思想是指渗透在中学教学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想. 发展和培养学生空间想象能力的过程中，适当通过数学思想方法进行指导，会收到事半功倍的效果.

除了几何实物模型、几何图形、几何文字语言描述三者之间的转换，在球类立体几何的学习中，从空间向平面转化，将球体进行截面处理，将几何体的基本量统一在平面截面图形中进行分析. 同时，空间中的射影变换，相似变换，等积变换等都促使空间理解化难为易. 解析几何中的数形转换把空间中形式与相应的数量关系对应起来，相互促进，增加理解. 分解思想的实质是分解—组合、分割—拼合的辩证思想. 将其用于球类立体几何的割补中，如将球心与四棱锥的四个顶点相连，就将原模型分解成四个以球心为顶点的三棱锥；将正四面体补成正方体，他们具有同样的外接球. 利用分解思想探索空间的结构形式，使学生体会数学中的和谐美与统一美，解题过程中达到触类旁通、举一反三的效果. 类比思想在球类空间几何中更是无处不在，将平面的圆与球类比，用学生熟悉的处理圆的各种方法处理球的问题，如将三角形的外接圆与四面体的外接球类比，四点共圆与多点共球类比，使学生在类比中学习思考，学习探索，提升能力.

总之，在立体几何的教学中，应联系生活实际，借助现代多媒体技术将模型进行直观而全面的展示，循序渐进地对学生进行科学的引导，帮助学生系统地分析和理解空间图形，进而发展丰富的空间经验和想象能力，实现新时代下新课改对学生的要求和素质培养.