从数学思想和数学本质的角度浅谈基本不等式

何最祥

摘 要：高中基本不等式这节内容应用很广，技巧方法也很多，如果缺少数学思想方法和数学本质的学习，就会让学生学习起来困难。从数学思想和数学本质的角度来分析基本不等式，将杂乱的技巧方法统一起来，让学生在探究中明白为什么要这么做，这么做的思想是什么，甚至能让学生感觉到其本质，最后再举出例子让学生看到其思想是“配凑法”，其本质是“一正、二定、三相等”，这样才能让学生真正地学会运用基本不等式来解决问题。

关键词：基本不等式；数学思想；配凑法

基本不等式是高中数学的重要内容之一，它具有将“和式”“积式”互相转化的放缩功能，同时也是证明不等式及函数最值的重要工具。大部分的教师在教学生时，都告诉学生口诀“一正、二定、三相等”，也告诉学生要灵活运用；而运用过程的思路方法却有很多，部分教师在这个过程中给了学生各种题型的练习，最后让学生记住了方法，知道了如何做题，但是却丢掉了最宝贵的数学思想方法和数学本质。

我们所学的基本不等式形式多种多样，证明方法也灵活多变，它的知识本质我概括为：“正”“定”“等”“同”四个字。“正”：基本不等式成立要求各项都为正值；“定”：要求“和”或者“积”为定值，当然也注意在考试时要证明两个含未知数式的大小关系时，不要求定，定只是用于求取值范围，求最值；“等”：要探究等号条件是否成立；“同”：在多次取等号是，是否每次取等都满足，还有分为几部分取等时要求同时满足，这个教师很少提及但是该注意它。

很多教师将基本不等式的数学思想分为很多类，正用：由“积式”向“和式”的转化；逆用：由“和式”向“积式”的转化；叠用：连续多次使用基本不等式等等。而我觉得这样的分类只是根据形式而言，根本没有考虑数学本质和思想问题，以上分类我都归纳为一种配凑法，需要什么配什么。这就是基本不等式的数学思想。

接下来我来举些例子来让大家看到数学本质和数学思想的妙用，让大家知道为什么要这么做。

对比解法一和解法二，你觉得解法一能够想到吗？而解法二正是很自然的方法，这就是本质。这道高考题中规中矩，很多学生都会，但是面对我的这个变试题很多人无从下手，其实也很简单，这就说明学生没有领悟到数学的本质和思想。

记住我们的本质是数学知识“一正、二定、三相等”，而思想就是配凑法，需要什么造什么。看原高考题直接有了，无需配凑学生都会，而对于变式就是需要什么构造什么，利用加一个减一个，运用简简单单的思想就能解决所有的问题。

通过上面两个奥赛题的分析，我们最终发现了再难的题考得也是最本质的思想。

数学思想培养是数学学科教学的根本任务，高中数学教师应该结合学生的思维能力发展规律，使学生学有所思、学有所悟、学有所得，同时教师也该通过自我领悟，自我反思，自我总结来培养自己的数学思维能力水平。希望每个教师能领悟数学思想，领悟数学本质，传授给每个学生数学思想和本质！

参考文献：

[1]史宁中.数学思想概论.东北师范大学出版社，2008.

[2]董毅.数学思想与数学文化.安微大学出版社，2012.

（作者单位 东北师范大学数学与统计学院）