以问题为主线、打造数学高效课堂

郝宇航

【摘要】引起学生兴趣的课堂是高效的，促使师生、生生多维互动的课堂是高效的，促使学生积极思维的课堂是高效的。本文以《基本不等式》课堂教学为例，探头如何以问题为主线，让学生自己探究知识的生成过程。

【关键词】基本不等式 高中 数学 模拟课堂

基本不等式是学生已经掌握了不等式的性质及常见不等式的解法以后学习的一个重要的不等式模型。本节的教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程，难点是用基本不等式求最大值和最小值。在本节课的设计中，我采用教师引导下的学生分组合作的教学方法，以问题为主线，让学生自己探究知识的生成过程。我精心设计每一个情境、每一个问题，尽量提升学生学习的兴奋点，又不偏离主题，让学生体验数学的逻辑与严谨，感受数学的统一美和应用的广泛性。

一、情境引入

在情境引入中，我引导学生围绕设置好的探究路径展开，如“风车中有哪些几何图形？”“根据这些图形的面积大小，你能抽象出一些不等关系吗？它能用不等式表示吗？”等问题，为学生指明探究的方向，让学生先描述不等关系，再抽象出不等式，而不是直接得出不等式，符合人的认知过程。在基本不等式的意义探究中，我先指明了算术平均数和几何平均数的定义，然后让学生在图中找出 的算术平均数和几何平均数，进而根据数形结合来体会基本不等式的代数意义和几何意义，这样既为学生指明了探究方向，又使逻辑自然、清晰。

二、教学过程

师：请同学们看屏幕上的探究1，大家认识这个图形吗？这是2002年在北京举行的第24届国际数学家大会的会标，颜色的明暗使它看上去像一个风车，“风车”中有哪些几何图形？

生：有大正方形ABCD，四个全等的直角三角形，小正方形EFGH。

师： 根据这些图形的面积大小，你能抽象出一些不等关系吗？它能用不等式表示吗？

生：正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，如果设直角三角形两直角边长分别为 ，这时正方形ABCD的面积为 ，四个直角三角形的面积和为 ，我们就得到了一个不等式， 。

师：那么这两个式子能相等吗？

生：当直角三角形变为等腰直解三角形，正方形EFGH缩为一个点即 时，有 .

师：在图形中 ，那么这个不等式对任意实数 是否也成立呢？请大家以小组为单位相互讨论并给出证明。

生：这个不等式对任意实数 都成立，可以用作差法来证明： ，当且仅当 时等号成立。

师：如果 ，我们用 分别代替 ，会得到什么式子？

生：可以得到 。

师：通常我们把上式写作 ，这就是我们要学习的基本不等式。大家能否根据不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？请同学们根据屏幕上的提示进行填空，相互讨论，完成推导。

生：要证 ，只要证 ，即只要证明 ，也就是证明 ，显然，上式是成立的，当且仅当 时等号成立。这种证明方法是我们以后要学习的分析法。这样，我们又一次得到了基本不等式。

师：请同学们看屏幕上的探究2，我们常把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均数。试指出图2中哪些线段的长度分别是 的算术平均数和几何平均数？能否比较它们的大小关系？

生：半径 ，为 的算术平均数，由△ACD∽△DCB可得 ，为 的几何平均数，由于 ，所以 ，当且仅当点C与圆心重合，即 时等号成立.因此我们得到了基本不等式的代数意义为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，几何意义为半径不小于半弦.

师：那么基本不等式有什么用呢？请同学们看屏幕中的例1的第1问，以小组为单位进行讨论，想办法解决这个问题.

例1.（1）如图，用篱笆围成一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

师：我们请1组4号同学在屏幕上展示一下他的解法，并请他分析一下.

生：该题目要解决的问题是面积确定时，长和宽取什么值时，周长最短.我由面积 ，根据基本不等式 得矩形的周长为 ，当且仅当 时，取等号。所以，当长、宽各为10米时，篱笆最短为40米。

师：我们请2组的4号同学来点评一下他的解法有什么不足。

生：应用题应先设变量，解答的开始应先设矩形的长为 米，宽为 米.

师：我们回到最初的问题，基本不等式有什么用，对，可以用来求函数的最值。大家继续讨论，再来完成例1的第2问，请2组的1号同学来说一下解答过程！

例1.（2）如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设菜园的长为 ，宽为 ，则 ，由 得矩形的面积 ，当且仅当 时等号成立.所以当矩形的长宽都为9m时，矩形面积最大为 .

师：大家对比上面两个题的已知和所求，思考可将求最值的情形分成几类？

生：两类，若两正数的乘积为定值，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，，它们的乘积有最大值，即和定积最大，积定和最小.

師：请同学们看屏幕上的巩固练习：判断下列求函数最值的方法是否正确？

（1） ；（2）

生：第1题没有考虑到 ，第2题等号不能成立，因此两种求最值的方法都是错误的。

师：请大家结合以上题目，归纳一下利用基本不等式求函数最值时应注意哪些问题？

生：利用基本不等式求函数最值时注意：两个变量都为正数，两个变量的和或积是定值，还要注意等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。

师：同学们回顾一下本节课的学习，你有什么收获？取得了哪些经验教训？还有哪些问题需要帮助？

生：一个不等式：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立；两种思想：数形结合思想、归纳类比思想；三个注意：利用基本不等式求函数最值时注意“一正、二定、三相等”。

师：请同学们看屏幕：今天的作业是

（1）基本作业：课本P100习题A组2、4题

（2）探究作业：你能利用函数 来证明基本不等式吗？

总之，在课堂教学中以问题为主线，学生不仅获得了知识，而且更重要的是获得了探索问题的思想方法和能力。学生在问题的引领下，思考多，讨论多，合作多，质疑多，在问题解决过程中获得了解决问题的方式，让学生高层次的思维能力和自主学习的能力在学习过程中得到了真正的提高；真正实现课堂的高效性。

【参考文献】

[1]刘伟，孟祥东.基本不等式 课堂实录[J].中学数学杂志，2014（9）.

[2]高建辉.以问题为主线激活高中数学教学[J].学周刊，2013（27）