如何拓宽几何证明题的解题思路

2013-04-29谭梅英

新课程·中学 2013年9期

谭梅英

摘要：现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。然而，在数学教学中常常发现，学生反复做的都是同样的题目，学生每天处在题海当中，越来越烦，越学越累，越来越找不到学习的兴趣。因此，在新课程改革下，教师要拓宽学生的解题思路，提高学生的分析能力以及解题能力。

关键词：初中数学；证明题；解题思路

俗话说：“授人以鱼，不如授人以渔。”即是说在实际教学中，教师要教会学生学习的方法，激发学生的创造性思维。因此，在教学过程中，教师要拓宽学生的解题思路，要鼓励学生轻松地掌握基本的数学解题方法，营造学生个性发展的空间，提高学生的解题能力，以大幅度提高学生的解题效率，从而起到事半功倍的效果。

一、实际解题中存在的问题

当前数学习题教学中普遍存在效率低、教学效果差等现象，主要体现在例题的选择具有随意性、缺乏典型性、题量过大，课堂内容对提高学生的解题能力帮助不大，使得学生盲目地做题，只见练习题目的增加，却看不到效果。从学生的解题过程中我们不难看出，每个班级学生的解题思路和解题模式，基本上是一致的，师从一处，学生很少会有新的解题思路和新的解题方法。这将严重影响学生解题效率的提高。

二、利用反证法拓宽学生的思路

反证法是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。这种方法属于间接解法，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论的反面进行思考，以便化难为易，顺利地解出该题，从而大大提高学生的解题效率。

例如：在△ABC中，AB=AC，P是内部一点，且∠APB>∠APC，求证：PB

证明：假设PB≮PC，即PB>PC或PB=PC

（1）当PB>PC时，在△PBC中，可得∠PCB>∠PBC

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，从而∠ABP>∠ACP ①

在△BAP与△CAP中，∵AB=AC，AP=AP，PB>PC

∴∠BAP>∠CAP ②

由①②和三角形内角和定理，可得∠APB<∠APC，这与已知∠APB>∠APC相矛盾。

（2）当PB=PC时，在△APB与△APC中∵AP=AP，BP=CP，AB=AC，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC，这与已知∠APB>∠APC相矛盾。

由（1）（2）可知，假设PB≮PC不成立。故PB>PC。

从该题目中不难看出，学生要想很快地解答出此题，学生不容易找到解题的思路，所以，鼓励学生从反方向思考，不仅可以拓宽学生的解题思路，提高学生的逻辑能力，而且还可以大幅度提高学生的解题效率。

三、应用一题多解拓宽学生的思路

一题多解是指在教师的启发、引导下，对一道题引导学生提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为学生合作、争辩、探究、交流的场所，能极大地提高学生的学习兴趣。而且，在一题多解的过程中，还有助于锻炼学生的创新思维，思维的灵活性，以促使学生获得更好的发展。因此，教师要鼓励学生进行一题多解，引导学生从不同的角度、不同的方向找到解题的切入点，以促使学生的解题效率得到大幅度提高。

例如：已知BE和CF是△ABC的高，BE=CF，H是BE和CF的交点，求证：HB=HC。

方法一：∵BE和CF是△ABC的高，∴在Rt△BCF和Rt△BCE中，CF=BE，BC=BC

∴Rt△BCF≌Rt△BCE

因此，∠BCF=∠CBE，即∠BCH=∠HBC（全等三角形对应角相等）

又∵H是BE和CF的交点，∴HB=HC（等角对等边）

方法二：连结AH ∵BE和CF是△ABC的高，∴∠BEA=∠CFA=90°

又∵∠A=∠A BE=CF

∴Rt△BEA≌Rt△CFA（AAS）；∴AE=AF

∵∠AEH=∠AFH=90°，又AH=AH

∴Rt△AFH≌Rt△AEH；∴FH=EH

∵CF=BE

∴HB=BE-EH=CF-FH=HC（等式的性质）