运用几何变换，探究几何性质

李凤清

（四川职业技术学院，四川遂宁 629000）

运用几何变换，探究几何性质

李凤清

（四川职业技术学院，四川遂宁 629000）

本文通过两个实例，阐述如何运用几何变换，来得到几何性质的探究方法，并由此得到一些有趣的几何性质.

位似变换；旋转变换；几何性质；探究

问题1

P为正三角形ABC内一点，三角形PAB，PBC，PCA的重心分别为D，E，F，三角形DEF是否为正三角形？

我们先是用计算的方法作探究.不妨设正三角形ABC的外接圆半径为1，在直角坐标系下

DEF为正三角形.

我们运用位似变换，即可以得到正多边形的几个性质.

性质1对正n边形A1A2…An与一个定点M，三角形MA1A2,MA2A3，…,MAnA1的重心分别为C1,C2，…,Cn，则多边形C1C2…Cn是正n边形.

性质2对正n边形A1A2…An及其外接圆上一个定点M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的垂心分别为D1，D2，…,Dn则多边形D1D2…Dn是正n边形.

性质3对正n边形A1A2…An及其外接圆上一个定点M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的九点圆心分别为E1，E2，…，En，则多边形E1E2…En是正n边形.

我们还可以得到正四面体的两个性质.

性质4对中心为O的正四面体ABCD与空间一定点M，设四面体MBCD,MACD,MABD,MABC的重心分别是O1，O2，O3，O4，则四面体O1O2O3O4是正四面体.

性质5对中心为O的正四面体ABCD与空间一定点M，设三角形MAB,MAC,MAD,MBC,MBD, MDC的重心分别是O1，O2，O3，O4，O5，O6，则O1，O2，O3，O4，O5，O6，一个正八面体的六个顶点.

证明略.

用变换的观点来看待几何,乃是德国数学家克莱因(F.Klein)的首创，也是新课标的倡导与要求.从上面例子看出，运用变换的观点来看一些几何图形，的确能把握几何性质的实质。下面再举一例.

问题2

如图1，三角形ABC与三角形ADE满足AB= AD,AC=AE,且∠DAB=∠EAC=900.则三角形ABC边BC的中线AF必垂直于直线DE.

该题的证明也很多，是一道几何名题.但我们用旋转变化即可揭示其本质.将图1中三角形ABC绕A点逆时针旋转一个直角后变成图2情形，由三角形中位线定理，显然图2中AF∥DE,那么图1中AF必垂直于直线DE.

根据上面方法，我们即可得到问题2的推广.

命题如图3，三角形ABC与三角形ADE满足AB=AD,AC=AE且∠DAB+∠EAC=1800，F为线段BC的中点，直线AF与直线DE相交于G.则∠FGD=∠BAD.

证明略.

[1]徐峰.正多边形的两个性质[J].数学通报，2013,(01): 61-63.

责任编辑：张隆辉

G633.63

A

1672-2094(2013)05-0144-02

2013-08-15

李凤清（1978-），女，四川遂宁人，四川职业技术学院应用数学与经济系讲师。