构造正四面体巧解立体几何问题

杨天勇

在许多立体几何问题中，由于图形的不规则，因而线面关系也不是很直观、明显.如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体——正四面体，并将问题放入其中，充分利用正四面体的点、线、面及角的特殊性，将使得问题更清晰，从而较容易的解决这个问题.本文就此举例说明构造正四面体在解题中的作用.

一、构造正四面体求点与面的距离问题

例1 A、B、C、D是空间不共面的四点，与这四点距离相等的平面个数最多有个.

解：如图1，以A、B、C、D为顶点构造一个正四面体，在以A为顶点，BCD为底面的正三棱锥中，过高的中点且平行于底面的平面与这四点的距离相等，当交换顶点时，这样的平面有4个，又因为过AB和CD的公垂线的中点且平行于AB和CD的平面到四点的距离也相等，而这样的异面直线有三对，所以这样的平面有3个，所以一共有7个.

评注：若仅凭空间想象，易漏解或多解.而把问题放到正四面体中分析，较直观的得出结论.

例2 三棱锥P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，则点B到面APC的距离是 .

解：如图2，延长AP到M，使AM=2a，连结MB，MC，则三棱锥M-ABC刚好是一个正四面体，所以点B到面APC的距离就是正四面体M-ABC的高h,h=26a3.

评注：在原图中不易直接作出点B到面APC的距离，而延长AP到M构造正四面体M-ABC，易知点B到面APC的距离恰好就是这个正四面体M-ABC的高，较容易得出了结论.

例3 如图3，已知半径都为r的四个小球，其中三个两两相切放在桌面上，另一个小球堆放在这三个小球的上面，求小球堆放的高度.

解：显然四个小球都两两相切，连接它们的

球心A、B、C、D后得到一个边长为2r的正四面体D-ABC，如图4，并且面ABC平行于桌面，且到桌面的距离为r，而正四面体D-ABC的高DO=26r3，所以小球堆放的高度h=DO+PD+OT=26r3+r+r=(6+26)r3.

评注：构造正四面体并利用其性质解答本题，思路清晰，较容易得到结论.

二、构造正四面体求空间角问题

例4 已知a、b为两条互相垂直的异面直线，过空间一点最多可作与a、b都成60°角的直线有 条.

解：∵正四面体的两条对棱互相垂直，∴任取两条对棱所在直线分别为a,b，如图5，∵AC，BC，BD，AD与AB，CD都成60°角，故这时只需过空间任一点P分别作与BC、AC、BD、AD平行的直线即可，而且只有这四条，故结果有4条.

评注：若仅凭空间想象，易漏解或多解.

例5 PA、PB、PC是从点P出点的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角是 .

解：如图6，以P、A、B、C为顶点构造一个正四面体P-ABC，那么在正四面体C-PAB中，PC和平面PAB所成的角为正四面体的侧棱和底面PAB所成的角，由正四面体性质，易求得这个角为玜rccos33.

评注：根据正四面体的性质及特征，构造正四面体P-ABC，从而快速解答问题.

三、构造正四面体求体积的问题

例6 三棱锥P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥P-ABC的体积.

解：如图7，延长AP至M，使AM=2a，连接MB，MC，则三棱锥M-ABC正好是一个正四面体，∴V㎝-ABC=212(2a)3=223a3,∴V㏄-ABC=12V㎝-ABC=23a3.

评注：由原图求三棱锥P-ABC的底面积容易，但点P到平面ABC的距离却不好求，而据条件知易构造正四面体M-ABC，则所求三棱锥P-ABC的底面积刚好是此正四面体的底面积、高是正四面体高的12，故借助正四面体的体积易求出最后结果.

四、构造正四面体求证线面垂直问题

例7 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=2AA1,∠A1AD=∠DAB=∠A1AB=60°，求证A1A⊥截面B1D1C.

证明：如图8，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，延长AA1至P使得AP=AB，=连接PB、PD、BD，则符合题意的三棱锥P-ABD正好是一个正四面体，连接A1B、A1D，由正四面体的性质易知AP⊥平面A1BD.又A1D∥B1C，BD∥B1D1，∴平面A1BD∥平面B1D1C，∴AP⊥平面B1D1C，∴AA1⊥截面B1D1C.

评注：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，直接证明A1A⊥截面B1D1C，需作辅助线，使得AA1与面B1D1C中的两条相交直线垂直，但不易作出，而根据题意构造正四面体P-ABD，却较容易证出这个问题.

通过以上例子可以看出如果我们在平时的学习过程中，注意充分利用正四面体的点、线、面及角的特殊性，把一些不规则的图形构造成比较规则的正四面体，利用正四面体的特殊性灵活解题，将会收到理想的解题效果.

参考文献

［1］刘允忠.正四面体的性质及应用.数学通讯.2002年第7期.

［2］沈文选.正四面体的判定与性质.数学教学研究.1994年第3期.