正四面体外接球和内切球的半径的求法

李凤华

题 已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.

分析 如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O₁到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O₁是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO₁⊥平面BCD，所以球心O在高线AO₁上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”