巧建模型 快速解题

☉江苏省新海高级中学 宋秀云

立体几何重点研究的是空间中的点、线、面、体的各种位置关系.在学习中，如何提高空间想象能力是摆在广大学生面前的一个大难题.借助最熟悉的几何体构造模型，可以帮助学生打破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.

一、构造正方体模型解题

例1 如图1，甲烷CH4的分子结构是：碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上（各个面都是正三角形的四面体叫做正四面体，到正四面体四个顶点的距离都相等的点叫做正四面体的中心）.设碳原子与4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ=_____________.

图1

分析：本题如果放在正四面体中直接求解，比较麻烦.先构造一个正方体，如图2，A-BCD为正四面体，正方体的中心就是碳原子，∠DOC即为θ.

图2

评注：正四面体内接于正方体，一般能用正四面体解决的问题都可以借助“正方体”模型解决.

变式：已知三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD，∠BDC=90°，求BC与AD所成的角.

分析：常规方法是借助平行移动找到所求角，但计算复杂.把该三棱锥放到正方体中，如图3，BC与AD的位置关系一目了然，所求角为正方体两条面对角线的夹角.

图3

二、构造长方体模型解题

例2 从点P出发的三条棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则过P、A、B、C四个点的球的表面积为_____.

分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，过P、A、B、C四个点的球就是这个长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径.设球的半径为R，则有

变式1：三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，Q是底面三角形ABC内的一点，Q到三个侧面的距离分别为4cm、6cm、12cm，则PQ的长为______.

分析：构造长方体，PQ即为以4、6、12为长、宽、高的长方体的体对角线，故有

变式2：如果三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2，4cm2，3cm2，那么它的外接球的体积是____.

分析：构造长方体，由三个侧面两两垂直可以得到三条棱PA、PB、PC两两垂直，长方体的体对角线就是球的直径.设球的半径为R，则有.本题只要由面积条件求出三条棱的长度即可.可设PA=x，PB=y，PC=z，则有从而解得答案.

变式3：已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积.

分析：若按常规思路，这个问题的解答很复杂.

通过对已知条件的分析，构造长方体ABCDA1B1C1D1，如图4，其中四面体

D1-AB1C符合条件，令AC=5，B1C=6，AB1=7.

图4

由勾股定理得AB2+BC2=25，AB2+BB1=49，BB1+BC2=36，解得AB2=19，BC2=6，AA12=30.

评注：其实条件可以减弱，只要是对棱相等的四面体都是长方体的一部分，并且四面体的体积都是对应长方体体积的

构造模型解立体几何问题，不但能提升学生的思维起点，培养学生的空间想象能力，而且还能让学生发现数学美，体验数学美，提高学生学习数学的兴趣.