三角函数最值的求解策略

☉山东省菏泽二中 洪宝华

三角函数的最值问题是三角函数知识的综合应用，是对三角函数的概念、图像和性质，以及对诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式的综合考查，是函数内容的交汇点，也是函数思想的具体体现.三角函数最值有着广泛的应用，是历届高考的重点，也是高考命题的热点.对这类问题，只要我们采取恰当的策略，就可以简捷地求解.下面举例介绍几种三角函数最值问题的常用求解策略.

一、y=asin x+bcos x型

特点是含有正余弦函数，并且是一次式.

所以函数f（x）的最大值为2，最小值为-1.

二、y=asin2x+bcos x+c型

特点是含有sin x、cos x，并且其中一个是二次.

求解策略：利用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，转化成二次函数最值来求解.

三、

型

特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式.求解策略1：利用sin x和cos x的有界性.

求解策略2：看成直线的斜率.

解法2：设A（2，2），P（cos x，sin x），则

即kPA为过A、P两点的斜率.所以要求函数的最大值，只需求直线PA的斜率kPA的最大值即可.

由sin2x+cos2x=1，得P（cosx，sinx）在单位圆上.

因为直线PA的方程为y=kPA（x-2）+2，即kPAx-y+2-2kPA=0.

根据图像，直线PA与单位圆相切时，斜率kPA取得最值.

四、含有sin x与cos x的和与积型

特点是含有或经过化简整理后同时出现sinx+cosx与sinxcosx的式子.

求解策略：利用（sin x+cos x）2=1+2sin xcos x进行转化，变成二次函数的问题.

五、y=sin xcos 2x型

特点是关于sin x、cos x的三次式（cos 2x可化为关于cos x的二次式）.

求解策略：化为多项式函数，利用导数法.

例5 已知x∈［0，π］，求函数y=（cos 2x+1）sin x的最大值.

解：y=（cos 2x+1）sin x=2cos2xsin x

=2（1-sin2x）sin x=-2sin3x+2sin x.

令t=sin x，则y=-2t3+2t.

求三角函数的最值，要仔细观察函数的特征，联系已有的函数知识，采用正确的策略把陌生的问题转化为熟悉的问题，这也是解决问题的一般策略.