关于对称多项式的构造及其应用

何 灯

（福建省福清港头中学，福建 福清 350317）

关于对称多项式的构造及其应用

何 灯

（福建省福清港头中学，福建 福清 350317）

通过构造对称式和轮换对称式的一般表示式，借助于Maple应用程序，研究了3元到15元的对称多项式的缺项多项式、轮换对称代换缺项多项式、Si类对称多项式及Si类差分代换缺项多项式的通式构造，并对多元多项式的平方分拆进行了探讨.

对称多项式；缺项多项式；Si类多项式；平方分拆；机器证明

0 引 言

文献［1］通过构造对称式和轮换对称式的一般表示式，借助于Maple应用程序，研究了Si类多项式和缺项多项式，实现了3元到8元的缺项多项式和Si类多项式通式的构造.这些应用程序为我们研究多项式的性质提供了方便.但由于这些程序通用性较差，有些模块效率不高，部分表达式不能自动构造，如果用其研究更多元的情况将会发生困难.本文以文献［1］为基础，对对称多项式的一般式构造及其应用进行进一步探究，通过通用算法得到了3元到15元（15元以上的，机器的运算效率明显降低）的对称多项式的一般构造程序，并举例说明其在构造缺项多项式和Si类对称多项式的通式、多项式的平方分拆中的应用.

1 对称多项式和轮换对称多项式的一般表示

1.1 对称多项式一般表示式及其实现程序

n元初等对称多项式是指型如:

的对称式.由对称多项式基本定理[2]知，任何一个对称多项式均可用初等对称多项式表示出来，这样可以利用基本定理构造对称多项式的一般式.对于变元数较少的情况，文献［1］给出了构造程序pe[3]（3元到8元对称多项式构造程序）.为了研究更多元对称多项式的性质，需要编写多元初等对称多项式的通用构造程序.以下简要说明寻找σi的两个可行算法.

算法1 展开（x1+x2+…+xn-1+xn）i，寻找其中含有i个变元的项，将这些项去系数，相加，则可得σi.

算法2 求集合{x1,x2,…,xn}的子集，寻找其中含有i个元素的子集，将单个子集内的各个元素相乘，再将得到的因式相加，可得σi.

采用算法1，笔者编写了n元初等对称多项式的构造程序ddn（本文所编写程序均集中在参考文献［4］dcdxs中），命令格式是ddn（n）.要构造一个n元m次的对称多项式的

1.2 轮换对称多项式一般表示式及其实现程序

文献［1］基于推广的多项式基本定理，给出了3元和4元的轮换对称多项式通式，对于多元的情况，由于还没有得到初等轮换对称式，从而通式构造遇到了困难.本文通过构造普通多项式的一般式，再根据轮换对称多项式的定义构造并解方程组，解决了这个问题.

依照这些命令序列，可以编写轮换对称多项式的一般式构造应用程序ldcts，其命令格式是ldcts（var，deg），其中var是变元个数，deg是次数.

例1 试确定6元3次轮换对称多项式一般式.

解 运行ldcts（6，3），则得（其中ki为待确定参数，若取其为特殊值，则可得特殊表达式，下同）：

2 缺项多项式

文献［1］定义了差分代换缺项多项式.由于缺项多项式在差分代换后降低了维数，更便于研究，故研究这类多项式是有意义的.文献［1］中的程序up[3]能够得到3元到8元对称多项式的差分代换缺项多项式通式.笔者在文献［1］的基础上，利用本文2.1中得到的对称多项式的一般式构造程序dcts，编写出了3元到15元的对称多项式差分代换缺项多项式通用程序dque，其运行命令是dque（var，deg），其中var为变元个数，deg为次数，输出一个含两个元素的数组，第一个元素是以σi表示的通式，第二个元素是以xi表示的通式.

例2 确定9元6次对称差分代换缺项多项式通式.

解 运行 dque（9，6）［1］（［1］表示只需要输出 dque（9，6）的第一个数组元素， 下同）， 则得：

对于一个n元对称多项式f（x）=f（x1，x2，…，xn），由于各个变量所处的位置是平等的，故不妨设xn-1≥xn-2≥…≥x2≥x1≥xn，只需做一次如下差分代换：

从而可定义差分代换缺项多项式并由上代换确定其通式.对于一般的多项式，由于其各个变量不是平等的，故不能仅通过一次的差分代换确定其差分代换缺项多项式的通式.而对于一个n元轮换对称多项式，通常可设xn为变量中最小者，从而可作如下代换（与差分代换有区别）：

类似文献［1］差分代换缺项多项式的定义，我们可定义:

一个 n 元多项式 f（x） =f（ x1，x2，…，xn）， 作代换

后得到的代换式中， 如果缺少含有 Xn的项， 即 f（x1，x2，…，xn） =g（ y1，y2，…，yn-1）， 则称f（x）为轮换对称代换缺项多项式.

基于以上的定义，笔者编写了确定轮换对称代换缺项多项式程序lque，程序中用到了本文2.2中的轮换对称多项式的一般式构造应用程序ldcts，其算法类似于dque，命令为lque（var，deg），其中var为变元个数，deg为次数.由于4元以上的轮换对称缺项多项式通式比较复杂，限于篇幅，下面仅举两个简单例子说明lque的使用.

例3 确定4元5次轮换对称代换缺项多项式通式.

解 运行 lque（4，5）， 则得：

其中，

例4 确定3元8次轮换对称代换缺项多项式通式，并找到其中一个半正定多项式.

解 运行命令lque（3，8）， 则得：

其中，

令k3=1，k43=-3，k45=7，得多项式可因式分解为：

显然非负.

3 Si类多项式通式

文献［5］定义了 Si类多项式： 如果 m 元 n 次齐次多项式 f≡ f（x1，x2，…，xm）满足f（1，1，…，1） =0， 并且当 m-i（m-1 ≥ i≥ 0）个变元相等时 f取值为零， 则称 f属于 Si类多项式.文献［1］实现了4元到8元Si类对称多项式通式的程序构造.本文利用对称多项式的一般式构造程序dcts编写出了3元到15元的Si类对称多项式通用程序Sidc，其运行命令是 Sidc（i，var，deg）， 其中var为变元个数， deg为次数.

例5 确定13元12次S5类对称多项式通式.

解 运行 Sidc（5，13，12）， 则得：

例6 确定最大i的11元12次Si类对称多项式通式.

解 运行 Sidc（5，11，12）， 没有得到输出结果. 运行 Sidc（4，11，12）， 得到：

这说明11元12次Si类对称多项式的最大i为4.

例7 确定最低元数的10次S4类对称多项式通式.

解 运行 Sidc（4，9，10）， 没有得到输出结果. 运行 Sidc（4，10，10）， 得到：

这说明10次S4类对称多项式的最低元数为10.

例8 确定最低次数的10元S3类对称多项式通式.

解 运行 Sidc（3，10，7）， 没有得到输出结果. 运行 Sidc（3，10，8）， 得到：

这说明10元S3类对称多项式的最低次数为8.

4 Si类差分代换缺项多项式通式

对多项式多一种考量的标准，我们就对多项式的性质多了一重认识.在Si类多项式及差分代换缺项多项式的基础上，笔者提出了Si类差分代换缺项多项式概念，将差分代换缺项多项式的通式构造程序dque和Si类对称多项式构造程序Sidc合并，可得Si类差分代换缺项多项式通式构造程序Sique，其运行命令是Sique（i，var，deg），其中var为变元个数，deg为次数，输出一个含两个元素的数组，第一个元素是以σi表示的通式，第二个元素是以xi表示的通式.

例9 确定9元8次S2类差分代换缺项多项式通式.

解 运行 Sique（2，9，8）［1］， 得到：

5 对称多项式的平方分拆

2006年文家金，张勇在文献［6］中解决了如下问题.

设实系数n元齐次对称多项式F（x）满足：当x1=x1=…=xn时有F（x）=0，且F（x）的次数不小于2.问：是否存在多项式P（i，j，x）使得：

对于3元的xmynzt，由式（6）可得：

pfbs是由多个分块程序和一个主程序组成，第一个程序是基于式（6）编写的，其能够给出型如式（6）的分拆结果，第二个程序是基于式（7）编写得到的，其能够得到式（7）的分拆并利用第一个程序对2元的进行拆分，第三个程序用到了第二个程序，如此类推，得15个分拆程序，后面的每个程序均用到其前一个程序.主程序pfbs的作用是将输入的多项式的每个项都表示为Pi+Qi的形式，并把所有的Pi和Qi分别相加并对Qi合并同类项，若ΣQi=0，则输出ΣPi，完成分解，否则同时输出ΣPi和ΣQi.

例10 Mohab Safe（巴黎第6大学副教授）2009年提出了一个4变量24次1289项的大多项式[11]，对其做平方分拆，运行如下命令：

在电脑d盘中得到了文件mm2.txt，里面给出了具体的分拆结果，详细可参阅文献［11］.

例11 试验证8元6次以（1，1，…，1）为零点的轮换对称多项式总是能够进行平方分拆的.

解 先利用ldcts构造8元6次的轮换对称多项式一般式，记为tem，对各个变元赋值1，得到一个方程，解之代入tem中，记结果为temp，运行pfbs（temp）.此过程可用如下命令自动完成:

在输出的结果中，由于非平方部分恒为零，故8元6次以（1，1，…，1）为零点的轮换对称多项式总是能够进行平方分拆的.

例12 试验证13元10次以（1，1，…，1）为零点的对称多项式总是能平方分拆.

解 利用dcts求13元10次对称多项式一般式，记为tem，对各个变元赋值1，得到一个方程，解之代入tem中，运行pfbs，过程可由如下命令完成：

输出的分拆结果表明，13元10次以（1，1，…，1）为零点的对称多项式总是能够平方分拆的.

6 结 语

文献［1］通过构造多项式通式，对一些特殊类型的多项式进行研究，从而发现了多项式的一些性质或规律.本文沿用这一思路，得到了一些新算法，弥补了文献［1］程序的不足，从而提高了程序的运算效率和功能，延伸了应用范围.提出的轮换代换缺项多项式及Si类差分代换缺项多项式概念，丰富了多项式的研究类型.本文只是侧重于这些特殊类型多项式的构造，并未对其正性等性质进行专门研究.如何对这些多项式类型进行深入研究，揭示其特殊规律并应用到具体问题中，是一个十分重要的研究课题，有待进一步研究.

[1]刘保乾.对称多项式的一般表示式及其应用[J].广东教育学院学报，2010，30（3）：17-24.

[2]姚慕生.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2005：198-199.

[3]xzlbq（刘保乾）.对称多项式的一般表示式及其应用[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=658&sid，2010-06-03.

[4]hedeng123（何灯）.对称多项式构造程序dcdxs[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=721&sid，2010-07-02.

[5]刘保乾.Si类多项式初探[J].广东教育学院学报，2007，27（5）：6-13.

[6]文家金，张勇.齐次对称多项式的分解原理与方差平均不等式猜想[J].四川师范大学学报，2006，29（4）： 438-442.

[7]刘保乾.多元齐次对称生成分拆基初探[J].广东教育学院学报，2006，26（5）：5-15.

[8]何灯.3元n次对称多项式的平方型分拆及其他[J].佛山科学技术学院学报，2010，28（4）：51-57.

[9] 刘保乾.再谈多项式的平方分拆[J].佛山科学技术学院学报，2010，28（5）：43-50.

[10]xzlbq（刘保乾）.何灯老师请注意——平方型分拆可否有重要进展[EB/OL].http：//www.irgoc.Org/viewtopic.php?f=27&t=480&sid，2010-03-22.

[11]yanglu（杨路）.Safey的大多项式你们的方法能做吗？[EB/OL].http：//www.irgoc.org/viewtopic.php?f=27&t=501&sid，2010-04-01.

Abstract：General expressions for constructing symmetric polynomials are proposed.In Maple， 3 to 15-term symmetric polynomials,permute symmetric polynomials， Sisymmetric polynomials and Sidifferential substitution polynomials with sparse terms have been constructed.Multiple-term polynomials have been studied in square decomposition.

Key words：symmetric polynomial； polynomial with sparse terms； Sipolynomial； square decomposition；machine proof

On Constructions and Applications of Symmetric Polynomials

HE Deng

（Gangtou Middle School， Fuqing 350317， Fujian， China）

O 122.3

A

1001-4217（2010）04-0001-08

2010-04-14

何灯（1984-），男，福建福清人，学士，教师，全国不等式研究会成员.研究方向：不等式的机器证明.E-mail：hedeng123@163.com