非自治系统关于部分变元的强稳定性＊

刘 丹

（山东科技大学，山东 青岛 266590）

1 引言与定义

Liapunov直接法是研究系统稳定性的一个强有力的方法，在一个系统中存在许多的变元，但往往一部分变元的性质我们掌握不了，或者不需要研究和证明。这就引出了强稳定性的概念，如文献［1-3］提出了关于部分变元的强稳定性的概念，但关于部分变元的强稳定性的判定定理还不够丰富。文中将文献［4-8］中验证部分变元稳定性方法改进，得到了一些关于部分变元的强稳定的判定定理。

考虑n维非自治系统

其中x∈Rn，f（t，x）∈C［I×Ω，Rn］，I=［0，+∞），Ω 为开区域，f（t，0）≡0。记

假设当Ω=｛x∶‖y‖≤H，‖z‖≤+∞｝时，（1）的解唯一且可延拓到I上。

定义1［1］称（1）的平凡解关于部分变元z对y 强稳定，如果对于任何ε＞0和t0∈I，存在δ（ε，t0）＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ（ε）时，对一切t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖≤ε。

定义2［1］称（1）的平凡解关于部分变元z对y 强一致稳定，如果对于任何ε＞0，存在δ（ε）＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ（ε，t0）时，对一切t0∈I，当t≥t0时有‖z（t，t0，x0）‖≤ε。

定义3［3］称（1）的平凡解关于部分变元z对y 强吸引的，如果对于任意ε＞0及t0∈I，存在δ（t0）＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ时，存在T（ε，t0，x0）＞0，当t≥t0+T（ε，t0，x0）时有‖z（t，t0，x0）‖≤ε，即z（t，t0，x0）=0。

定义4［3］称（1）的平凡解关于部分变元z对y 强渐近稳定的，若（1）的平凡解关于部分变元z对y 是强稳定的且z对y 是强吸引的。

定义5［1］对于连续函数V（t，x）=V（t，y，z），若有V（t，0，z）≡0，则称V（t，x）为推广的Liapunov函数或y-V 函数。

2 判定定理

定理1 存在y-V 函数V（t，x）及连续函数列｛Un（t，x）｝满足

（1）Un（t，x）≥a‖z‖，a∈K，Un（t，0）=0

下面证明对一切t≥t0均有Un（t，x（t，t0，y0，z0））＜αN。

若Un（t，x（t，t0，y0，z0））＜αN不成立，故可找到t1≥t0，使得

于是

这与（6）式矛盾。从而

故对一切的t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖＜ε。则系统（1）的零解关于部分变元z对y 强稳定。

定理2 若存在y-V 函数V（t，x）满足

（1）V（t，x）≥a（‖z‖）且｜V（t，x）｜≤b（‖z‖），其中a，b∈K。

（2）D+V（t，x）≤0。则系统（1）的零解关于部分变元z对y 强一致稳定。

由（2）D+V（t，x）≤0，故

从而‖z（t，t0，x0）‖＜ε，则系统（1）的零解关于部分变元z对y 强稳定。

又因为｜V（t，x）｜≤b（‖z‖），取δ（ε）=b-1（a（ε））不依赖于t0，当‖y0‖＜δ有

从而对一切t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖＜ε。故系统（1）的零解关于部分变元z对y 强一致稳定。

注：在定理2中去除｜V（t，x）｜≤b（‖z‖）条件后也是判定零解关于部分变元z 对y 强稳定的一个方法。

定理3 若存在y-V 函数V（t，x）满足

（1）有正定函数w（z），使得V（t，x）≥θ（t，x）w（z），V（t，0）=0。

证明 由条件（1）知由于w（z）是正定函数，故存在φ∈K，使得w（z）≥φ（‖z‖），故

从而‖z（t，t0，x0）‖＜ε。即系统（1）零解关于部变元z对y 强稳定。

对任意的的ε1＞0，存在T（ε1，t0，x0）＞0，当t≥t0+T 时

即系统（1）零解关于部分变元z对y 强吸引。

综之，系统（1）零解关于部分变元z对y 强渐近稳定。

作者衷心感谢冯滨鲁教授对本文的指导、审阅。

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