模糊数列的加权缺项统计收敛和加权缺项收敛

冯 雪

（青海民族大学 数学与统计学院，青海 西宁 810007）

数列统计收敛的概念由Fast[1]和Schoenberg[2]最早引入，作为一种可和性方法,统计收敛的研究得到了 Fridy、[3]Freedman、[4]Fridy 和 Orhan、[5,6]Mursaleen、[7]Savas[8]等人的重视.1965 年Zadeh[9]提出了模糊集合的概念并给出了模糊集合的运算法则,随后，Mathloka[10]对模糊数列进行了更深入的研究，得到了有界性、收敛性及其他相关性质.2001年，Savas[10]讨论了模糊数列的统计收敛，并证明如果模糊数列收敛，那么可以表示为一个普通收敛的模糊数列与一个自然密度为零的模糊数列的和.2012年,Mursaleen等人[11]给出了加权统计收敛的定义，并利用其证明了Korovkin逼近定理.2014年，M.Basarir和S.Konca[12]提出了实数列加权缺项统计收敛的概念.本文以缺项数列和加权数列为框架，研究了加权缺项统计收敛的模糊数列空间和加权缺项收敛的模糊数列空间，并且给出两种收敛空间的包含关系，若则（即；若且 pkD(xk,x0)≤ M,则（即当 pkD(xk,x0)≤ M 时,

1 预备知识和定义

模糊数u是指在实数R上的模糊集u，若u是正规的凸模糊集，且隶属度函数u(x)上半连续、支撑集为紧集.E1表示所有模糊数所 组 成 的 集 合.对， 水 平 截 集是一个闭区间.对u,v∈E1,k∈R，加法运算和数乘运算定义为

模糊数u,v∈E1之间距

其中D表示Hausdorff距离，(v-(r),v+(r) ) 分别是[u]r,[v]r的左右端点.表示零模糊数.

N表示自然数集,集合的自然密度定义为其中|A|表示A的元素个数[13].

设θ={kr}是缺项数列,p={pk}是加权数列,定义

Qr并 且如果对所有的k∈N,当{pk}=1时， Hr,Pkr,Pkr-1,Qr和退化为hr,kr,kr-1,qr和Ir.

2 模糊数列空间 S͂(Nˉ,θ)及空间的相关性质

定义2.1模糊数列x={xk}加权缺项统计收敛于模糊数x0,对∀ε＞0,有

记作

加权缺项统计收敛的模糊数列空间记作:

注2.1当{pk}=1 时,模糊数列空间退化.其中

注2.2当时,模糊数列空间退化 S～(Nˉ).其中

注2.3当时,模糊数列空间退化.其中

定理2.1如果liminfQr＞ 1 ，那么r成立.

证明 设limri nfQr＞1,则存在 δ＞0,使得当 δ充分大时有Qr≥1+δ,即

那么

因为故因此

定理2.2如果那么成立.

证明 设则存在 β＞0,使得对所有有Qr＜β.

设即对存 在 r0∈N,当 r＞r0时,有成 立.记为任意整数且Kr-1≤n≤Kr,

则

所以因此

推论2.1若则

定理2.3如果对所有的k∈N有那么

证明 由{pk}＜1可得Hr＜hr,那么存在常数M1,使得设则

可得

因此,

定理2.4如果对所有的k∈N有且有上界,那么

证明 由，可得 H＞h,再由有上界

rr可得，存在常数 M,使得设

2则可得

因此， S͂(Nˉ,θ)⊂ S͂(θ).

3 模糊数列空间 W͂(Nˉ,θ)及其相关性质

定义3.1加权缺项收敛的模糊数列空间：

注3.1设x={xk},则

分别称模糊数列x={xk}加权缺项收敛于模糊数x0，加权缺项收敛于模糊数0ˉ和加权缺项有界.

注3.2当{pk}=1时,模糊数列空间 W͂(N ˉ ,θ) 退化为.其中

注3.3 当 θ={kr}={2r}时,模 糊 数 列 空 间W͂(N ˉ ,θ)退化 W͂(Nˉ).其中

注3.4当{pk}=1， θ={kr}={2r}时,模糊数列空间 W͂(N ˉ ,θ)退化 W͂.其中

定理 3.1 空间有

如下包含关系成立：

证明 显然成立.设则

由上面不等式可知所以模糊数列故

定理 3.2 空间是 R上的线性空间.

证明 仅证明其他类似.设

可以证明

事实上，由于

所以

再由

可得

所以因此，W͂0(Nˉ,θ)是线性空间.

模糊数列加权缺项收敛有如下结论：（定理证明过程类似于定理1.1～定理3.2）

定理3.3如果limri nfQr＞1，那么

推论3.1若1则

定理3.5若对所有的k∈N有{pk}＜1，那么

定理3.6若对任意k∈N有{pk}＞1，且有上界，那么

4 模糊数列空间与之间的关系

定理 4.1 对于空间有如下包含关系成立.

证明设

则对∀ε＞0，有

所以

定理4.2若存在常数M使得 pkD(xk,x0)≤M,那么

证明设

则对∀ε＞0,有

所以

5 结 论

文中主要给出了两种新的模糊数列收敛的概念——加权缺项统计收敛和加权缺项收敛.同时，定义了加权缺项统计收敛的模糊数列空间 S͂(Nˉ,θ)和加权缺项收敛的模糊数列空间W͂(Nˉ,θ)，并在研究空间性质的基础上证明了相关定理.最后，讨论了两种模糊数列空间的包含关系，结果表明，

（1）

（2） 当时，

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