巧借动态资源，突破教学难点

陈建春

互质数的概念是在教学找两个数的最大公约数的基础上引出的，目的是要引导学生总结出“如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1”的结论。但是由于它比较抽象，距学生的生活实际较远，又容易和质数的概念相混淆，所以一直是教学的一个难点。我在执教本课时，由于将学生在学习过程中动态生成的学习资源巧妙地利用，有效地突破了这一难点，学生的求知欲被充分调动起来了。

案例：

师：你们已经学会找一个数的约数，那么两个数的公约数你们会找吗?你们理解什么叫“公约数”吗?

生：公约数就是两个数都有的约数。

师：30以内的数，任意选择两个，写出它们的公约数。

生1：12和18的公约数有1、2、3、6。

生2：5和9的公约数只有1。

生3：8和12的公约数有1、2、4。

……

师：仔细观察这些数的公约数。你有什么发现吗?

生4：它们都有公约数1。

生5：1是它们公约数中最小的一个。

师：观察得真仔细。确实，两个数的公约数中最小的都是1。那么，最大的公约数固定吗?

生6：最大的公约数不固定。像8和24的最大公约数就是两个数中较小的一个数“8”。而8和12的最大公约数是4。

生7：有时候两个数的公约数只有一个，像5和9，它们的公约数只有1。所以最大公约数也就是1。

师：是啊，有些数的公约数只有一个，就是1。像这样的两个数，数学上给它一个名称叫做“互质数”。你们还能找出具有这种特点的两个数吗?

生8：我找到了1和10的公约数只有1，它们是互质数。

生9：8和9的公约数只有1，它们是互质数。

生10：2和5的公约数只有1，它们是互质数。

生11：4和9是互质数，公约数只有1。

师：仔细观察这几组数，你有什么新的发现吗?怎样的两个数可能成为互质数?你能举例证明吗?

生12：我发现8和9是连续的两个自然数。连续的两个自然数一定是互质数，比如2和3、7和8、15和16等都是互质数。

生13：我发现1和任意一个自然数都是互质的。比如1和5、1和7、1和30等。

生14：我发现2和5都是质数，两个质数也一定是互质数，比如2和7、3和5、11和13等。

生15：我发现4和9都是合数，两个合数也是互质数。

生16：我反对他的这种说法。像4和6也都是合数，但是它们还有公约数2，所以我认为两个合数不一定是互质数。

生17：我发现一个质数和一个合数一定是互质数，比如5和9、11和14等。

生18：不一定。像5和10，它们还有公约数5，所以一个质数和一个合数不一定是互质数。

……

反思：

本节课预设先让学生写出30以内任意两个数的公约数，目的是让学生发现公约数的特点，即公约数的个数是有限的，最小的公约数是1，最大的公约数各不相同。接着出示互质数的概念，通过五组判断互质数的练习，让学生更好地理解互质数的概念，掌握常见的互质数的规律。过去互质数的概念都是教师直接告诉学生，面对枯燥的文字，学生只能死记硬背，而不能很好地理解它。而在课堂上，因为学生对互质数的情况产生了关注，如果教师还是一味地把学生往自己原有的设计上牵引，那么学生在学习活动中闪现的智慧火花就被教师所扼杀了。所以我及时提问：“怎样的两个数可能成为互质数?”从而引导学生在动态生成的例子中寻求这个问题的答案，再进一步总结规律，达成共识。这样一来，既加深了学生对于“互质数”概念的认识。同时也让学生更好地掌握了成为互质数的几种特殊的情况，从而更好地辨别互质数，建构自己的认知体系，在潜移默化中将这一难点给突破了。

新课程提倡在课前要有精心的预设，预设学生在面对教材所产生的问题，预设学生在解决问题时的思考和策略，但是我们更期待学生在这一过程中动态生成的资源，因为这些资源一旦被教师发掘并有效地利用起来，那么它们所起到的作用是不可估量的，就像是催化剂那样加速学生学习的进程。如何把握好课堂中动态生成的资源来引发学生的“创造性思维碰撞”，使教学进程有节奏地推进，这是我们每一个教师所深思和探究的问题。仅以此例和各位同行交流探讨。