跳出圈子思维 培养模型观念

[摘" 要] 随着新知识的学习，有些学过的结论可以被代数证明，有些结论需要被明确前提，这些都需要跳出固有的思维圈.文章从身边的情景剥离出数学问题，利用熟悉的习题，将结论通过二次函数的知识进行证明优化，并推广到一般化，培养学生的模型观念，促使学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.

[关键词] 模型观念;应用意识;数学思维

作者简介：姜萍（1984—），本科学历，高级教师，从事数学教育工作，曾获得杭州市教坛新秀称号.

抽象能力和模型观念欠缺的学生，很难将现实问题和数学问题结合在一起，这就需要教师对相关教学活动重新定位，重新思考，重新设计，引导学生从具体事件剥离出数学问题，培养学生用数学的角度观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达，找到数学本质.本文以“圈地”设计活动为例，通过学生活动，探讨如何将熟悉的问题从“三会”的角度重构，培养学生的核心素养.

提出问题

学生面对已抽象好的数学题，解题很顺利，但是当实际场景一出现，就会觉得困难，可见学生的抽象能力、模型观念、应用意识均需要被培养. 面对生活问题，学生往往觉得它们和数学没有关系，也就没有了解决数学问题的一般“套路”，不会用数学的方法去解决现实问题. 因此，重构熟悉的场景，联系相关知识，建立数学模型，才能让学生明白生活中处处有数学，从而用数学知识解决实际问题.

合理选材

“几何直观建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型.”学生的几何作图能力相对欠缺，尤其是方案设计类，需要发散性思维结合几何直观能力，只有合理作图后才能再进一步抽象出数学问题，从而建立模型.

“圈地”设计活动在教材课后习题和相关作业中多次出现，是二次函数的典例. 但是这些题目往往都会给出配套的图形，忽略了培养学生的几何直观能力，以致无法培养学生的模型观念. 这种看似常规且学生熟悉的问题，重构后就是教师最好的教学素材.

1. 数形结合，完善前提

我校劳动基地想要用木栏围出菜园，现每班分到木栏20米，该如何围才能面积最大？

设计意图" 打破学生小学时记忆中的结论“长度固定，围成正方形的面积最大”，这一结论并不是在任何情况下都成立.通过多种方案对比，引出冲突，学生利用二次函数求最值，验证儿时“正方形面积最大”这一结论的前提是不利用墙体围四边形.当围成圆，或者利用存在的墙体作为部分围栏时，记忆中的结论也就不成立了，说明通过对数学知识重新思考，通过持续学习，可以完善以前的结论，因此需要注意结论使用的前提.

学生设计1（不利用围墙）：在空地上，用20米的木栏围成矩形菜园，求能围出的菜园面积的最大值. 具体过程如下：

设一边长为x米，面积为y，则y= x（10-x）=-（x-5）2+25，此时围成边长为5米的正方形，面积最大，其最大值为25平方米.

学生设计2（不利用围墙）：在空地上，用20米的木栏围成圆形菜园，圆面积比正方形更大. 具体过程如下：

2πr=20，故r=，S=π·

2=gt;25，此时围成半径为米的圆，面积为平方米.

设计意图" 这两个方案都是特别好的设计，均符合题目的要求，说明不能盲目使用小学根深蒂固的“周长固定，正方形面积最大”这一结论.从实际场景分析，这两个方案分别适用于不同的环境.设计1适用于空旷的没有围墙等阻隔的土地，且围成四边形，通过二次函数求最值，发现当长和宽相等时，面积最大;设计2是有重要意义的，打破了学生的固有思维，即围成圆形，半径最大时，面积也最大，且最大的圆面积大于正方形的面积，因此正方形面积最大的前提应该是在没有边界，不利用墙体，围成矩形这一“圈子”内，而不是任意图形.通过两个方案的对比，可以让学生认识到结论成立的前提的重要性，而日常生活中没有采用方案2是因为圆形造成周围的土地很难利用，不适合实际的生产生活.

2. 结合课本，拓展应用

根据学生已有的学习经验，课本“二次函数的应用”的课后作业题B组第4题“某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长gt;50米），中间用一道墙隔开. 已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50米，设两间饲养室合计长为x米，占地面积为y平方米……”可进行如下设计：

学生设计3（利用围栏）：如图1，在空地上有一段足够长的墙MN，利用墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另外三边总计20米木栏，求矩形菜园ABCD面积的最大值.

[图1][B][D][C][M][A][N]

学生：设BC= x米，面积为y，则y=x（20-x）=-（x-10）2+50，此时矩形菜园长10米，宽5米，最大面积为50平方米.该方案结果大于设计1的结果.

设计意图" 设计3源于课本上的习题，是较多学生条件反射作出的图形，从而建立了模型，符合一般情况下的现实生活，场地有边界，因此可以利用现有的围墙，抽象成数学问题的常规情况.有足够长的边界“圈地”的最大面积的结论，与正方形面积最大这一结论也不相符.

结合课本上的场景，即可改编“圈地”的新问题，具体如下：

由于生长周期不同，农作物拟分开种植，围两个园子，园子一面靠墙，墙足够长，中间用一道木栏隔开，木栏总长为20米，设两个菜园合计长x米，总占地面积为y平方米，你能围成总计多大的园子呢？（如图2）

学生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教师引导：如果需要3个园子，你该如何围呢？总面积最大是多少？

学生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教师继续引导：如果有4种农作物需要种植，你怎么围？总面积最大又是多少？

学生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教师最后引导：如果有n种农作物需要种植，你怎么围？总面积最大是多少？（如图3）

学生总结：y=·x=-（x-10）2+.

设计意图" 通过变式，增加难度，探索通式通法. “培养学生用数学的眼光看现实世界”，学习数学的目的是让数学服务于现实生产生活，因此要让学生明白种植周期不同，根据实际需要，将菜园分割，方便每种农作物各自收割和再次种植，从而让学生进一步体会到数学和现实生活息息相关，需要将现实生活中的问题抽象成数学问题，突破传统的方法，或许能想到比课本上更好的方法.

3. 结合设计，产生惊喜

学生设计4（利用角落）：围成“L”型，考虑到实际场地一定有限，利用角落作为矩形的一角，只需围左边及下方的木栏AB，BC这两条边，即在空地上有足够长的墙MD及DN，利用墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的两边靠墙，可以用20米木栏，求矩形菜园ABCD面积的最大值. （如图4）

学生：设BC=x米，则AB=（20-x）米，面积为y，则y=x（20-x）=-（x-10）2+100. 此时园子长10米，宽10米，最大面积为100平方米.

设计意图" 设计4最为特殊，学生考虑到最特殊的情况——可以利用角落“圈地”，两边都利用现有围墙. 学生给出了突破常规的想法，求出了这四个方案设计中面积最大的情况，跳出了一般思维限制，成为这节课的亮点，体现了让学生设计的重要性.

设计4的衍生情况：在上述基础上，继续围“L”型，即利用一面墙MD以及前一个班级的一道木栏EF作为下一个班级的另一阻隔，跳出利用四个角落的常规思维，学生提出的分割方法如图5所示.

拓展1：在空地上有两段足够长的墙，利用墙MD，ND和木栏围成矩形菜园ABCD，已知可以用20米木栏，需要围成2个相等大小的菜园，求菜园总面积的最大值.

学生：设BF为x米，则AB为（10-x）米，总面积为y，则y=2x（10-x）= -2（x-5）2+50.

拓展2：需要围成3个等大的菜园，求菜园总面积的最大值.

学生：y=3x

-x=-3x-

2+.

拓展3：在空地上有一段足够长的墙DN，利用墙MD，ND和木栏围成矩形菜园ABCD，已知每班可以用20米木栏，需要围成n个等大的菜园，求菜园总面积的最大值.（如图6）

学生总结：y=nx

-x=-n·

x-2+.

最后思考：如果菜园子不需要等大呢？总面积的最大值会产生变化吗？

学生回答：不会产生变化.

设计意图" 充分肯定学生的“L”型设计，其不光可以在四个角使用，还可以横向铺开，从而就具备了推广的实际意义.进一步结合课本习题相关的变式，从特殊到一般，从具体数字到用字母表示数，找到系数之间的关系，让学生体会数学的归纳能力和类比思想.最后的思考题，让这个问题又进一步一般化，本节课更加意犹未尽，耐人寻味.

专家点评

本节课在教师的引导下，过程由学生完成，结果由学生呈现，课堂的主线和方向牢牢地把握在教师手里，为学生打上数学应用、数学建模和核心素养的底色，让学生从学会转变为会学，从关注怎么教，进阶为关注学生怎么学，不仅关注学生知识技能的掌握，而且关注学生核心素养的发展.

1. 注重创设引课

对于一节好课而言，一段精心设计的引课，相当于一个好的序幕，以熟悉的“圈地”设计活动引入，由此进行数学建模，把陌生的知识放到熟悉的环境中，再用熟悉的知识解决陌生的问题，这就是深度学习，也是真实性学习.

2. 注重基本学情

备知识的课，备学生的课.初三学生的思维能力已经从形象经验向抽象理论转变，具备了逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养，也能从特殊到一般，从具体到抽象来思考和探究问题.

3. 注重互动交流

课堂教学不仅是知识的传授，还有肢体语言、情感交流、眼神交流，更重要的是从学生身上得到生成资源.通过创设群体的交流提问，利用横向思维的迁移，发展学生数学抽象和逻辑推理的素养.

4. 注重核心素养

通过简单的应用和形成的过程，提高学生的观察能力、归纳概括能力，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算，特别是数学建模这一核心素养，培养分析、综合、创造的高阶思维. 学生在教师的引导下自主探究，形成数学思想，感悟到数学的科学价值、应用价值、文化价值，最终实现育人价值.