关于“切线的判定”的复习教学探究与思考

[摘" 要] “切线的判定”作为初中数学的核心内容，在几何综合题中有着广泛的应用. 复习教学中要整合知识定理，总结方法模型，结合实例指导应用. 文章将结合教学实践开展章节内容的教学设计探究，并提出相应的建议.

[关键词] 切线;判定;直线;圆;模型方法

基金项目：福州市教育科学研究“十四五”规划2023年度课题“基于教学评一体化的初中生几何推理能力培养行动研究”（FZ2023GH051）.

作者简介：潘钦（1982—），本科学历，中学数学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

“切线的判定”是九年级上册的重要内容，是研究直线与圆的位置关系的核心知识，同时也是历年中考的热门考点. 复习教学中需要引导学生强化判定方法，掌握作辅助线的技巧，提升学生的应用能力. 教学过程应注重教学环节的设计，引导学生互动交流，下面开展教学探究.

教学环节探究

“切线的判定”的教学，需要指导学生掌握知识与方法，环节设计建议由易到难，引导学生从基础的定义出发，再结合模型构建判定方法，最后结合方法指导应用. 综上可知，整个教学过程可分为三个环节.

教学环节（一）：知识回顾，定义理解

教学预设：教学中直接呈现图1所示的直线与圆的三种位置关系，即相交、相切、相离.

教学引导：借助图像直观呈现直线与圆的位置关系，教学中从三个视角进行知识回顾引导. 一是关注三种位置情形下直线与圆的交点个数;二是关注圆心到直线的距离d与半径r的关系;三是关注相切情形下圆心到直线的距离d与半径r的关系. 根据上述引导，指导学生强化切线判定的证明方法，即d=r⇔直线与圆相切.

教学环节（二）：模型构建，方法探究

该环节需要指导学生构建切线判定的模型，开展方法探究，总结证明策略. 学生已经初步掌握了切线判定的基本方法，复习教学的重点是总结模型方法.

教学预设：直线与圆相切问题，总体上可分为两种条件情形. 教学中分情形构建模型，探索判定方法.

情形1——直线过圆上一点

已知：如图2-（a）所示，直线AB过O上的一点C.

求证：AB是O的切线.

教学引导：教学中引导学生关注问题特点，再探索证明思路，即分为两个阶段.

特征分析：本问题中已知直线过圆上的一点C，属于“有切点”的情形.

思路探索：连接圆心与交点，即连接OC，再证明AB⊥OC，从而可推导出AB为O的切线.

方法总结：对于涉及直线与圆交点的情形，则先连接圆心与交点，再证明垂直，即“有点连半径，证垂直”.

情形2——未设定特殊点

已知：如图2-（b）所示，直线AB与O.

求证：AB是O的切线.

教学引导：教学中同样需要引导学生关注条件情形，再探索证明思路.

特征分析：本问题模型没有设定直线与圆的交点，需要自行作图再分析.

思路探索：可先作出OC⊥AB，设定垂足为C，再证明OC=r，即圆心到直线的距离等于圆的半径，根据相切的定义来证明AB是O的切线.

方法总结：对于未设定直线与圆交点的情形，则可以先过圆心作出直线的垂线，确定距离，再证明该距离与半径相等，即“无点作垂直，证半径”.

教学环节（三）：应用指导，方法强化

该环节需要指导学生使用上述总结的模型方法来解决实际问题. 教学中精选典型问题，关注学生的思维变化，合理设问，引导学生思考.

应用指导1：作垂直，证半径

例1" 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，以D为圆心，BD长为半径作☉D.

求证：AC是☉D的切线.

教学预设：教学中使用黑板或投影仪展示上述问题，引导学生分析问题，整合条件，根据上述模型方法来探索.

问题中未设定直线与圆的交点，这属于上述模型的情形2，于是先作图，如图3，过点D作DE⊥AC，设垂足为E. 已知AD是∠BAC的角平分线，由于DE⊥AC，根据角平分线的性质可进一步推得BD=DE. 其中BD为☉D的半径，DE为圆心D到直线AC的距离，两者相等，故可证明AC是☉D的切线.

[图3][D][B][C][E][A]

教学引导：教学中引导学生分析问题，讲解证明思路，让学生在纸上规范作答. 同时设置如下问题，引导学生思考.

问题1：黑板上所呈现的思路中，你认为最关键的一步是什么？

问题2：你的思路与黑板上呈现的思路相比，有何异同？是否还有其他的思路方法？

问题3：能否通过证明三角形全等来证明BD=DE？

应用指导2：连半径，证垂直

例2" 如图4，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，与BC交于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E.求证：DE是☉O切线.

教学预设：教学中展示上述问题，引导学生分析其特征，即直线是否经过圆上的一点，再确定模型方法. 本问题中，直线DE上的点D在圆上，属于上述的情形1，显然可以连接该点与圆心，即连接构建半径，再证明垂直.

连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，可得∠BAC=∠BOD，所以OD∥AC. 根据条件可知DE⊥AC，则有∠AED=90°，所以∠ODE=∠AED=90°，于是可得半径OD⊥DE，进而证得DE是☉O的切线.

教学引导：教学中需要引导学生分析例2与例1问题的差异点以及所使用的模型方法思路有何差异，促使学生深入理解两种切线证明的方法思路. 设置如下问题：

问题1：解题过程中的整体思路是什么？

问题2：与例1相比，解法思路有何差异？

问题3：请用自己的语言来概括切线证明的两种思路.

教学中引导学生互动交流，使用正确的方法思路来解决问题，归纳一般的解题步骤. 对于过程中的关键步骤和思路，教师要注意重点讲解和提示.

教学设计思考

1. 精设课堂环节，引导学生参与

新课标的核心理念是：把课堂还给学生，让学生参与课堂探究. 因此教学中需要精设教学环节，引导学生参与课堂的探究活动，使学生的思维处于活跃状态，让学生积极思考探索. 对于“切线的判定”复习教学课，其核心内容应该是总结方法模型，强化解题策略. 因此环节设计的重点应放在模型总结与应用探究之中. 上述设计了三个教学环节，环节1侧重知识回顾，强化知识基础，教学中需要引导学生重温教材的知识内容;环节2则是分类探究模型，需要引导学生关注模型总结方法;环节3便是应用探究，该环节侧重思路应用和讲解，需要关注学生的思维变化.

2. 培养学生能力，拓展数学思维

学生的能力培养应是教学的重点，也是课堂教学的最终目的. 因此复习课的教学需要从各个方面来培养学生的能力. 以上述“切线的判定”为例，需要学生既掌握模型分析的方法以及数形结合、分类讨论的方法，又掌握条件转化、思路转化的策略. 教学中需要引导学生认真读题，结合图形把握问题特征，挖掘其中的隐含条件，构建证明结论与条件信息的关联. 思路构建时需灵活运用模型方法来进行分析，理清思路，整理过程.

写在最后

“切线的判定”的复习课教学，需要围绕核心方法与模型开展教学探讨，帮助学生掌握切线证明的方法策略. 教师要梳理知识内容，缩短基础知识的复习时间，并对核心内容进行总结概括，在课堂教学中引导学生参与讨论，给学生留足思考时间，让课堂焕发活力.