二次函数中的线段最值问题转化法的探究

[摘" 要] 对于二次函数中的线段最值问题，突破的关键是转化线段，可采用相似转化、三角函数转化、特殊图形三边关系转化、平行线比例特性转化四种方法.文章结合实例深度探索转化方法，并总结方法策略，结合教学实践提出几点建议.

[关键词] 二次函数;线段的最值;转化法

作者简介：赵雯君（1980—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教学与研究工作.

二次函数中的线段最值问题较为特殊，常以二次函数为背景，构建几何图形，探求其中的线段最值，问题具有“数”与“形”的双重属性. 求解时需要充分利用二次函数的性质，结合几何知识转化分析. 该类问题常用的破解方法较多，下面具体探究.

关于线段最值转化法的探究

探究1：利用几何相似转化线段求最值

求线段最值可采用相似转化法，利用相似转化构建待求线段与已知线段或特殊线段之间的关系，再利用点坐标求线段长，将线段最值问题转化为与坐标参数相关的函数问题，进而利用函数性质求最值.

例1 如图1所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的交点为A（-1，0）和B（3，0），与y轴的交点为N. 以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD，设点P为x轴上的一个动点，现连接CP，过点P作CP的垂线，与y轴的交点设为E.

（1）试求抛物线的函数解析式;

（2）当点P在线段OB（点P不与O，B重合）上运动时，试分析运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出该最大值.

解析：（1）该问求二次函数的解析式，采用待定系数法即可. 抛物线y=x2+bx+c经过点A和B，分别将其点坐标代入其中，可得1-b+c=0，

9+3b+c=0，可解得b=-2，c=-3，所以抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3.

（2）该问求线段OE的最大值，其中点E是CP的垂线与y轴的交点. 可采用相似转化的方法，构建线段比值关系，再整理为坐标参数的函数，后续利用函数性质求解.

由题意可知，AB=OA+OB=1+3=4. 在正方形ABCD中，已知∠ABC=90°，PC⊥PE，可推知∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°，所以∠OPE=∠PCB. 又知∠EOP=∠PBC=90°，可证△POE∽△CBP，由相似性质可得=.

设OP=x，则PB=3-x，所以=，整理可得OE=-

x-2+，由于0lt;xlt;3，分析可知，当x=时，线段OE长有最大值，且最大值为.

方法总结：利用相似转化求线段最值，其方法核心是利用相似图形的对应线段成比例将所求线段最值转化为关联线段的关系，可按如下步骤构建思路.

第一步，把握图象中的几何性质，证明三角形相似;

第二步，利用三角形相似性质构建待求线段与已知或特殊线段之间的比例关系;

第三步，结合点坐标、点的参数坐标，将线段比例转化为与坐标参数相关的函数;

第四步，分析坐标参数取值，利用函数性质求线段最值.

探究2：利用三角函数转化线段求最值

利用三角函数来转化求线段最值，其核心内容是：在直角三角形中，利用三角函数所构建的线段比值，将线段最值转化为特殊线段的最值，再结合点坐标来分析最值求解. 因此解题时要关注图象中的特殊三角形，提取或构造直角三角形.

例2" 如图2所示，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC. 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.

（1）求此抛物线的表达式.

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交BC于点Q. 试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形. 若存在，请求出此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由;

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N. 请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

解析：（1）该问求抛物线的解析式，采用待定系数法，可求得a=-，b=，抛物线的解析式为y=-x2+x+4.

（2）该问为等腰三角形存在性问题，探求点的坐标，需要分类讨论.

简答，当AC=AQ=5时，可求得点Q（1，3）;当AC=CQ=5时，可求得点Q

，

4-;当CQ=AQ时，所求不满足题意.

综上可知，满足条件的点Q有两个：（1，3）和

，

4-.

（3）该问求PN的最大值，可采用三角函数转化法，将其转化为求关联线段的最值.

设点Pm，

-m2

+m+4，则点Q的坐标为（m，-m+4）. 因为OB=OC，则∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，可推知PN=PQsin∠PQN，代入点P和点Q的坐标可得PN=·

-m2

+m+4+m-4=-（m-2）2+. 由于-lt;0，分析可知当m=2时，PN可取得最大值，且最大值为.

方法总结：利用三角函数转化求线段最值，其核心是构造直角三角形，利用三角函数对三角形三边关系的转化来求解. 具体求解时可分四步进行：

第一步，提取或构造直角三角形;

第二步，利用三角函数构造线段比例关系，转化所求线段;

第三步，代入点坐标，将线段问题转化为与坐标参数相关的函数问题;

第四步，利用函数性质求解最值.

探究3：利用特殊图形三边关系转化线段求最值

利用特殊图形的三边关系求线段最值，如等边三角形的三边长相等，等腰三角形的腰长相等，直角三角形的三边满足勾股定理. 具体求解时需关注问题中的特殊图形，有两种思路：思路1，利用特殊图形与边长相关的性质定理来转化求线段最值;思路2，利用特殊图形的性质定理来构建代数方程，进而转化求最值.

例3" 如图3所示，抛物线y=ax2+bx+2与直线y=-x交第二象限于点E，与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P是直线y=-x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H. 设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.

解析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将点A和E的坐标分别代入抛物线的解析式中，可求得a= -，b=-，则所求抛物线的解析式为y=-x2-x+2.

（2）由题意可知PG⊥x轴，PH⊥EO，点G在y=-x上，可推知△PHG为等腰直角三角形，则该三角形中的边长存在如下关系：PH=l=PG.

点G的坐标为（m，-m），设点P的坐标为m，

-m2

-m+2，则PG= -m2-m+2，所以l=PG=

-m2

-m+2=-·

m+2+，分析可知，当m=-时，l取得最大值，且最大值为.

方法总结：利用特殊图形的三边关系转化线段求最值，其思路清晰明了，就是直接利用其三边关系来转化线段. 常见的特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形，以及等腰直角三角形. 具体求解时可分为如下三步：

第一步，分析图象，提取或构造特殊三角形;

第二步，利用特殊三角形的三边关系转化线段;

第三步，结合条件求解，转化线段的长，并分析其最值.

探究4：利用平行线的比例特性转化线段求最值

利用平行线的比例特性转化线段求最值，其核心内容为平行线所产生的对应线段成比例，即平行线的比例线段特性. 求解时可提取图象中的平行线段，根据定理构建比例线段关系，进而转化线段，再求最值.

例4" 如图4所示，抛物线y=-x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.

（1）A，B，C三点的坐标分别为______，______，______.

（2）连接AP，交线段BC于点D，

①当CP与x轴平行时，求的值;

②当CP与x轴不平行时，求的最大值.

解析：（1）该问求抛物线与坐标轴的交点，根据抛物线的解析式可直接求得A（-2，0），B（3，0），C（0，4）.

（2）该问为线段相关的求值题，利用平行线比例线段转化求解.

①因为CP∥x轴，C（0，4），可推得P（1，4），所以CP=1，AB=5. CP∥x轴，利用平行线的比例线段关系可得==，即的值为;

②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，如图5所示. 可求得直线BC的解析式为y=-x+4. 则点P的坐标为m，

-m2

+m+4，点Q的坐标为

m2

-m，

-m2+

m+4. 所以PQ=m-

m2-

m=-m2+m.

因为PQ∥AB，利用平行线比例线段可得==-

m-2+. 分析可知，当m=时，可取得最大值，且最大值为.

方法总结：利用平行线比例特性转化线段，其核心是构成对顶角的三角形相似，是相似性质的简化构造，学习时需要深刻理解其本质内涵. 具体求解时可分如下三步：

第一步，分析图象中的两线关系，提取其中的平行线;

第二步，根据平行线的比例特性进行线段转化;

第三步，结合点坐标，将线段问题转化为与坐标参数相关的函数问题，再利用函数性质求最值.

关于转化法的探究思考

上述基于线段最值转化的方法展开深入探究，涉及相似转化、三角函数转化、特殊图形三边关系转化、平行线比例特性转化四种方法. 探究学习中需理解方法内涵，掌握构建思路，灵活运用方法解题. 下面提出三点建议.

建议1：挖掘方法定理，理解方法本质

上述探究了四种线段最值的转化方法，利用几何的性质定理转化线段关系是解题的关键. 探究学习中要挖掘方法背后的性质定理，从根本上理解方法. 可从以下两个视角开展探究学习：视角一，探索线段转化法所涉及的定理，如相似转化中的相似三角形对应边的比例性质，三角函数转化中的三角函数相关知识;视角二，探索定理的变式思路，拓展思维，如联想相似转化与平行线比例线段的关联性.

建议2：总结转化方法，构建解题思路

利用转化法解题的过程中，需要立足问题条件，推理分析思路，利用转化法来转化线段最值，再结合条件求解. 解题时涉及多个思维过程，要注意总结归纳，明晰过程，构建思路. 因此探究转化法时要理解方法，明确适用的题型，基于方法分步构建. 思路构建要关注两点：一是关注转化法的核心，即问题条件、图象特征等重点内容;二是关注转化的方向，即构建未知与已知的关系，将一般条件转化为特殊条件.

建议3：变式强化应用，灵活运用方法

上述探究了二次函数背景下线段最值问题的转化方法，并总结构建策略，探究学习时结合实例变式强化，灵活应用加深记忆. 应用强化可从以下三个方向进行：一是由易到难，从探究简单问题展开，总结思路，再提升问题难度;二是针对性训练，即针对同一方法、同一问题进行训练，总结问题类型，构建解题策略;三是合理变式，拓展思路，即探究学习中要合理变通，灵活选用解法，可开展一题多解探究.