聚焦空间想象力 发展学生空间观念

摘要：培养空间观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域中要求的课程内容，也是发展学生高阶思维与高层次数学能力的重要内容。以北师大版小学数学教材五年级下册自主开发课程内容“涂色知多少”为例，教师应设计充满挑战性的真实问题情境和学习活动任务，聚焦学生的空间想象力，发展学生的空间观念，进而发展学生的高阶思维能力和高层次数学能力。

关键词：空间想象力；推理意识；空间观念；高阶思维

在小学数学教学中，空间观念的培养是发展学生高阶思维与高层次数学能力的重要载体。教师要开发多种教学资源，在课堂核心学习活动的设计中集观察、比较、联系、思辨、想象、推理、分析、综合、概括于一体，以充满挑战性的真实问题情境和学习任务为载体，聚焦学生的空间想象力，培养学生的空间观念，进而发展学生的高阶思维和高层次数学能力。下面，笔者以北师大版小学数学教材五年级下册“涂色知多少”为例，探索发展学生高阶思维能力和高层次思维能力的教学策略。

一、情境引入，引发问题

教师出示图1，引导学生发现其中蕴含的数学信息。

教师导入真实问题：一个五面涂奶油的蛋糕，被平均分成九块。有人不喜欢吃奶油，有人最喜欢吃奶油，还有人想吃一点奶油但不要太多。他们该选哪一块呢？

生：正中心的那块只有一面有奶油，不喜欢吃奶油的可以选这块；喜欢吃奶油的可以选择四角位置的蛋糕，因为四角位置的蛋糕有三面有奶油；想吃一点奶油又不能太多的选择其余那四块，因为那四块有两面有奶油。

师：看来挑蛋糕中也隐藏着不小的学问呢，让我们一起来研究吧。

【分析与思考】问题能够引领学生的数学学习，而好的问题来源于现实生活。教师以现实生活中“分选蛋糕”的问题情境为载体，引发学生思考切分后每块蛋糕表面的奶油特征，从而抽象孕育有关立体图形表面涂色的相关问题，为接下来的学习活动研究做准备。

二、自主探究，积累经验

教师出示学习单，引导学生独立自主完成。

学习单：涂色知多少

1.把表面涂色的正方体每条棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到的小正方体会是什么情况呢？自己动手分一分、画一画、试一试吧。完成信息填写：

一共得到__________个小正方体；

三面涂色的小正方体有__________个；

两面涂色的小正方体有__________个；

只有一面涂色的小正方体有__________个；

各面都没有涂色的小正方体有__________个。

2.把表面涂色的正方体每条棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到的小正方体又会是什么情况呢？自己再动手分一分、画一画、试一试，并完成信息填写：

一共得到__________个小正方体；

三面涂色的小正方体有__________个；

两面涂色的小正方体有__________个；

只有一面涂色的小正方体有__________个；

各面都没有涂色的小正方体有__________个。

教师导入问题：刚才，大家已经把表面涂色的正方体每条棱分别进行了二等分、三等分（如图2），对得到的小正方体的涂色情况进行了探究。请大家在小组里交流，你的结论是什么？你是怎样画图并观察、思考的？

生：把表面涂色的正方体每条棱二等分，通过分割，我画出了这张图，一共得到8个小正方体，这8个小正方体都是三面涂色的，两面涂色、只一面涂色、各面都没有涂色的小正方体，都是0个。把每条棱三等分，通过分割，我又画出了另外一张图，一共得到27个小正方体，其中三面涂色的有8个，两面涂色的有12个，只一面涂色的有6个，各面都没有涂色的有1个。

师：大家看了他的探究，听了他的分享，好在哪儿？

生：我觉得他最后填写的结果都十分正确。

生：他对每种情况都分别画了图，这样画图分割后很直观，容易观察，而不是凭空想。

生：我想帮他做个补充。刚才他只是介绍了画的图和得出的结果，我想帮他补充这些小正方体涂色的位置分别在哪。二等分的就不用说了，都是三面涂色。我们看三等分的，三面涂色的在正方体的8个角处，1，2，3，4，5，6，7，有1个被遮挡了。两面涂色的，先看最上面一层，1，2，3，4，再看中间这层，1，2，3，有1个在左后面被遮挡了。再看最底下这层，1，2，还有两个也是被遮挡了，这样加起来一共是12个。只有一面涂色的在各个面的中间，1，2，3，还有3个也被遮挡了。各面都没有涂色的那个在大正方体的正中心，完全被遮挡了，就是在第二层的最中间那个，大家能想象出来吧？我还验证了一下，把各种涂色的情况加起来，8+12+6+1=27，总数正好够27个。

师：听了这位同学的补充，你觉得又好在哪儿？

生：我觉得他把三面涂色、两面涂色、只有一面涂色，还有各面都不涂色的这些小正方体分别在什么位置讲得特别清楚。

生：特别是两面涂色的情况，他一层一层地观察并指给我们看，非常有顺序。还有就是各个面都不涂色的（在正方体正中心藏着的）那个很不容易想到，我开始没找到，听他这么一说，我明白了。

【分析与思考】由现实生活情境进入相关联的数学问题情境——把表面涂色的正方体每条棱分别进行二等分、三等分，从最简单的情形入手，让学生对得到的小正方体的涂色情况分类进行独立探究。学生通过尝试画图、切分、观察、发现、想象、寻找分布位置、有序思考、计算、验证等，层层深入分析出答案。教师通过引导学生个体与全班的互动交流、评价、反思，积累初步探究解决问题的数学活动经验。

三、化繁为简，寻求模式

教师导入问题：刚才我们是把表面涂色的正方体的每条棱二等分、三等分，如果要把每条棱等分成更多份，然后沿等分线把正方体切开，得到的小正方体涂色情况又会是什么样的呢？我们该怎么办？

生：我觉得可以把每条棱平均分成四份、五份后切开，分别画一画，再看看各面涂色的结果。

生：我们也可以画一个表格来帮忙，把每条棱各等分的情况列举一下，找一找，看看有什么规律没有。

师：这个办法不错，可是该怎么画表格呢，表格中要含有哪些要素呢？

生：我觉得先是每条棱等分成几份，然后是切完后小正方体总数，后面可以依次是小正方体三面涂色数、两面涂色数、一面涂色数和各面都不涂色数。

生：每条棱的等分数依次是2，3，4，5……也可以多列两个，一直到等分成n份，看看结果都是怎么样的，有什么规律？

（根据讨论，学生共同设计表格）

【分析与思考】学生由简入繁，由前面将正方体的每条棱二等分、三等分，到如果要把每条棱更多等分，得到的小正方体涂色情况又会是什么样，该怎么办，由此引入化繁为简的思想。教师引导学生研究四等分、五等分的情况，在借助画图、列表中发现规律。特别要说明的是表格。这里，教师没有给出一个现成的表格，而是由学生根据要研究的问题对表格的结构、要素亲自设计、讨论形成。这里从头到尾发展的是学生高层次的数学思考（见表1）。

组员1：之前我们研究了把正方体每条棱二等分、三等分的结果，直接填在表中就行了。接着，我画图研究了四等分、五等分的情况。把每条棱四等分，一共能得到4×4×4=64个小正方体，三面涂色的在正方体的顶点处，一共还是8个；两面涂色的在正方体的棱上，每条棱有2个，12条棱就有2"×"12=24个；一面涂色的在正方体的面上，每个面有4个，6个面就有4×6=24个；剩下的就应该是各面都不涂色的了，64-8-24-24=8个，在正中心处。

组员2：把每条棱五等分，一共能得到5×5×5=125个小正方体，三面涂色的还是在正方体的顶点处一共还是8个；两面涂色的在正方体的棱上，每条棱有3个，12条棱就有3×12=36个；一面涂色的在正方体的面上，每个面有9个，6个面就有9×6=54个；剩下的就应该是各面都不涂色的了，在正中心处，有125-8-36-54=27个。

组员3：通过研究观察我们发现，每条棱几等分，得到小正方体的个数就是几的立方，而且不管几等分，三面涂色的个数都是8个。对于n等分时两面涂色的个数，通过观察我发现0，12，24，36都是12的倍数，分别是0×12，1×12，2×12，3×12，都是等分数减2之后再乘12，n等分时就是12（n-2）。可是，n等分时一面涂色和各面都不涂色的个数，我们没表示出来。

师：听了这个小组的汇报，你有什么想说的？可以评价、质疑或补充。

生：我觉得他们把每条棱四等分、五等分的情况研究得很清楚，而且还总结出了更多等分时小正方体总数、三面涂色数和两面涂色数的规律。

师：他们能够探究出这些结果或规律实属不易，你觉得在这个过程中，他们做的哪一点最关键？

生：画图。

生：观察后我有发现。

师：你发现了什么？

生：我觉得三面涂色、两面涂色、一面涂色和各面都不涂色的这些小正方体分别分布在什么位置很重要，可以帮助我们快速分析出结果。

师：说得特别好！在数学学习中，只画图还不行，还要学会观察思考，在观察中能发现一些规律是学习数学的最高境界。对于每条棱更多等分的情况，还有要补充的吗？

组员1：大部分情况我们和上一组都是一样的。只不过在数不同涂色面的小正方体个数时，我们发现了一些规律。比如，不管几等分，两面涂色的都分布在正方体的各条棱中间，四等分时，每条棱有4个小正方体，去掉两边顶点处三面涂色的2个，就是（4-2）个，12条棱就是（4-2）×12=24个；五等分时，每条棱有5个小正方体，去掉两边顶点处的2个，就是（5-2）个，12条棱就是（5-2）×12=36个；n等分时，每条棱有n个小正方体，同样去掉两边顶点处的2个，就是（n-2）个，12条棱就是12（n-2）个。

组员2：再比如，不管几等分，一面涂色的都分布在正方体各个面中间，四等分时，每个面有4×4个一面涂色的小正方体，去掉四周每条棱上两面和三面涂色的，就是（4-2）2个，6个面就是（4-2）2×6=24个；五等分时，每条棱有5个小正方体，去掉四周每条棱上两面和三面涂色的，就是（5-2）2个，6个面就是（5-2）2×6=54个；n等分时，每条棱有n个小正方体，一面涂色的就是（n-2）2×6，也就是6（n-2）2个。

组员3：对于各个面都不涂色的一定在正方体的中心处，去掉露在外面的这一层，里面堆积起来的应该也是个正方体形状，如四等分时，每行是（4-2）个，每层有（4-2），有（4-2）层，大家能想象出来吗？这样各个面都不涂色的有[（4-2）3]=8个。五等分时，里面堆积起来的也是个正方体，每行是（5-2）个，每层有（5-2），有（5-2）层，这样各个面都不涂色的有（5-2）3=27个。那么n等分时，各个面都不涂色的就有（n-2）3个。最后，我们把总结出来的每条棱n等分时的这些规律，在二等分、三等分时也分别进行了验证，都成立，大家看表2就可以了。

师：分享了这个小组的研究成果，你有什么想说的？

生：我觉得他们组研究得比较好，和第一组比又有些不同。

师：具体说说好在哪儿？有什么不同？

生：比如，在找两面涂色数时，他们组是先按位置数出每条棱有几个，再乘12计算出结果。再如，找一面涂色数时，也是先按位置数出每个面有几个，再乘6计算出结果，填表时也都是直接填最后的得数。而上一组是在观察后找到一些关系，如每条棱有几个两面涂色的，每个面有几个一面涂色的，他们不是直接数出来的，而是用算式来表示的，填表时也是先写算式再算结果。

师：你的意思是说他们组特别会观察，他们在观察中带着思考在寻找一些关系，对吗？

生：对。

师：他们在寻找哪些关系？谁和谁之间的关系？

生：各种涂色数分别与每条棱的等分数之间的关系。

师：特别好！这些个关系如果找到了，那么这里面隐藏着的涂色的奥秘就被我们发现和破解了。

生：可是这些关系好像挺隐蔽的，也不太好找，我就没找到，他们是怎么发现的呢？

师：对呀，他们是怎么发现的呢？反思总结一下有没有什么好的经验？

生：我觉得各种不同涂色小正方体的分布位置很重要，这在前面已经说过了。还有就是观察角度也很重要，在观察中还要不断思考分布和等分数之间的关系。比如，一面涂色的小正方体是分布在每个面的中间的，而且构成一个方阵，那么每个面上的个数就是方阵中一行个数的平方。再如，两面涂色的是分布在每条棱的中间，那么每条棱上的个数就是一行的个数减去2。

生：另外，我觉得想象也很重要，如各个面都不涂色的那些小正方体是藏在正中心的，而且它们堆在一起的形状也是个正方体，这样就方便分析它们的个数与每条棱等分成几份之间的关系了。

【分析与思考】交流分享研究成果是本课的核心环节。这里呈现了两个组的研究，每个组的成员接力汇报，通过对比、评价、补充、质疑，在交流后发现规律，形成解决问题的经验。特别是两个组研究过程的相同与不同，相同之处是都借助了前面各种不同涂色情况的小正方体各自分布规律的经验基础上进行的探究，不同之处是二者的观察思考力度和研究过程不一样，特别是第二组在画图后一边观察，一边想象、思考、寻找各种涂色数分别与每条棱的等分数之间的关系，从中发现规律，以方便表征每条棱更多等分时各种涂色结果的统一性。这是学生在数学学习中发展空间观念的同时一种高层次能力、高阶思维的体现，也是学生学科关键能力与核心素养形成的重要展现。学生最后通过反思、总结，再次积累形成探究解决图形问题的活动经验。

四、预留问题，延伸思考

教师导入问题：淘气在研究正方体表面涂色的问题时，他把一个表面涂色的正方体的每条棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，可是不小心把切好的积木碰塌了，能不能恢复原状呢？

生：我觉得能恢复。3面有颜色的一定是在各个顶点处，2面有颜色的应该是在各条棱去掉两头的中间位置，1面有颜色的肯定是在各个面去掉四周的中间区域，各面都没颜色的肯定是在看不见的中心处。

师：解决了正方体表面的涂色问题，你还有什么想继续研究的问题吗？

生：刚才我们研究的是正方体的情况，如果是长方体涂色，会是什么情况呢？

师：你能尝试用我们研究正方体的方法研究长方体吗？

教师出示如下题目：

把长、宽、高分别为3，4，5厘米的表面涂色的长方体切割成棱长是1厘米的小正方体。一共得到__________个小正方体；三面涂色的小正方体有____________________个；两面涂色的小正方体有__________个；只有一面涂色的小正方体有__________个；各面都没有涂色的小正方体有__________个。

长、宽、高若不是3，4，5厘米，是其他数据，结果又会怎么样呢？

师：请你带着本节课研究的经验，在课下继续探究，下节课我们再交流。

【分析与思考】有价值的课堂深度学习，需要能看得见学生能力和思维生长的气息，让学生经历从已知到未知的过程。其重要表现是学生能够应用学习的知识经验去解决新问题。这里，解决“积木塌了能否恢复”的问题，实际是对“涂色问题”的逆向思考与应用。课尾，教师为学生预留“尝试用研究正方体的方法研究长方体表面涂色”的问题，是为了让学生带着学习的经验去解决新问题，是为了点燃学生继续研究问题的欲望，帮助学生从已知走向未知。

参考文献：

［1］陈静.遵循认知规律发展空间观念：“图形的初步认识（一）”教材分析与教学建议［J］.小学数学教育，2024（20）.

［2］赵息才.核心素养背景下小学生空间观念的培养策略［J］.小学教学研究，2024（27）.

（责任编辑：杨强）