基于数学思想培养的高中数学单元教学案例探究

摘要：数学教学不仅要引导学生学习具体的数学知识，更要培养学生的创造性思维。教师可以“数形结合”“类比”等数学思想为主线，通过对“函数的奇偶性”这一教学内容进行内容重构，设计基于教材、课程标准和基本学情的单元教学案例。案例中所蕴含的数学思想与方法、所体现的数学核心素养、所构建的数学知识体系，应有利于进一步引导学生更加深入地理解函数的概念，掌握函数的性质。

关键词：高中数学；数学思想；单元教学；函数的奇偶性

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）指出“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”为了全面培养和发展学生的数学核心素养，落实立德树人的根本任务，教师应深入探究适合实际学情的教学模式，通过积极构建符合《课标》、教材要求的知识体系，编制合理的教学单元，设计符合学生认知水平发展的教学流程，来实现从传统的“学科本位”到“学生本位”的跨越。《课标》对于课程目标明确提出要落实“四基”，提高“四能”，那么在单元教学中如何具体实施呢？本文以“函数的奇偶性”为例，探讨以数学基本思想作为主线的单元教学设计。

“函数的奇偶性”是《课标》中必修课程的“主题二函数”的重要内容，本研究以此内容作为教学单元，将类比、数形结合、从特殊到一般等数学思想作为主线进行单元整体设计，主要突出以下三个方面：一是调整教学顺序，突出类比等思想。本案例将第1课时设计为“由偶函数的定义，探究得到偶函数的性质及判定，再逐步深入到函数的轴对称”等内容，类比第1课时，在第2课时中研究奇函数的定义，再逐步深入到函数的中心对称。这样，将函数的奇偶性分开教学，提前渗透了函数的轴对称和中心对称等特殊的性质，打破了教材中原有的知识体系，重新编制了符合学情的教学流程。二是强调数形结合在研究函数性质时的重要作用。本案例通过让学生直观感受偶函数和奇函数的图象及性质，引导学生根据具体函数的图象总结并且归纳出函数的奇偶性的定义，将数形结合、从特殊到一般的数学思想贯穿整个教学过程，培养学生直观想象、数学抽象等数学核心素养。与此同时，在函数的奇偶性的教学中深化对函数单调性的理解，引导学生思考对称性（轴对称、中心对称）与函数的单调性之间的关系，通过函数图象的变化规律，总结函数的性质。这不仅仅体现了知识之间的结构性，更重要的是体现了不同内容之间数学思想的一致性。

一、单元教学内容及教学目标分析

函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，其不仅刻画了变量之间的依赖关系，也可以被理解为实数集合之间的对应关系。函数的性质表现为因变量随自变量的变化而变化的规律性和变化中的不变性。具体来说，函数的单调性研究的是随自变量的增大，因变量是增大还是减小的规律性，这是事物发展趋势的一种数学表达；函数的奇偶性研究的是当自变量互为相反数时，因变量的变化规律（相等还是互为相反数），这是事物对称性的一种数学表达。奇偶性从“形”的角度，揭示了函数图象整体的对称性；从“数”的角度，刻画了自变量与函数值之间一种特殊的数量关系。函数的奇偶性对于简化函数图象和性质的研究过程具有事半功倍的作用。在解决函数问题的过程中，借助具体的函数图象和函数性质的研究，渗透用符号语言解释直观图形、用图形语言解释符号语言的含义，蕴含着数形结合的思想。在解决函数性质的具体问题中，通过逻辑推理、数学运算判断代数式的大小关系或相等关系，蕴含着转化与化归等思想。“函数的奇偶性”单元教学主要是通过探究函数的局部性质，利用从特殊到一般、数形结合的数学思想，延伸到函数的整体性质，其设计是借助代数运算、图象分析，对函数性质做出精确表达，完成函数基本性质符号化定义的抽象过程，为学生后续学习新的数学概念与性质奠定思想方法和能力的基础。

基于以上对单元教学内容的分析，笔者设计单元（主题）的教学目标为：（1）结合具体的函数，了解奇偶性的概念和几何意义及相应对称性。（2）能够运用代数运算、图象分析的方法来研究函数的奇偶性、对称性，建立不同函数图象与代数特征之间的关联，发现不同函数图象之间共有的性质。（3）能够理解“符号化表达与几何图象相对应”的本质，体会“从特殊到一般”“数形结合”“类比”的数学思想，会用联系的观点学习数学，将新知识纳入已有的知识体系中。（4）能够在运用代数运算和图象分析的过程中观察到函数奇偶性的代数特征及相关性质，并在此基础上类比至函数奇偶性相关性质的研究；在研究函数奇偶性相关性质的过程中能够运用特殊到一般、数形结合的数学思想方法猜想函数奇偶性的相关性质，并运用严谨的数学语言表达关于函数性质的逻辑推理过程和结论，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，提升数学表达能力。

二、单元—课时教学内容设计

单元—课时教学内容如图1所示，下面以第1课时为例，具体阐述单元视角下的课时设计。

课时教学目标：通过对不同函数由“形”到“数”的探究，得到偶函数图象关于y轴对称的代数特征，理解偶函数的图象特征和形式化定义，建构偶函数的概念；通过对复杂情境中函数对称性的符号语言表达，经历从具体到抽象的研究过程，借助图形性质探索数学规律，形成解决问题的思路；体会从特殊到一般、数形结合的数学思想在研究偶函数概念及对称性过程中的意义，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，提升数学表达能力。

学情分析：初中阶段，学生已经学习了轴对称图形、中心对称图形以及相应的性质，对二次函数、反比例函数的对称性也非常熟悉，能够结合具体的函数图象，用自然语言定性刻画函数的单调性。高中阶段，学生学习了函数的概念、函数的表示和函数的单调性，对自然语言、逻辑语言、逻辑推理有一定的体会，能理解函数单调性的符号化定义以及研究过程，这些知识和经验的积累为后续函数基本性质的学习奠定了基础。

虽然学生通过函数单调性的学习，具备了用数量关系刻画函数图象上升或下降趋势的基本活动经验，但是关于对称性的认识仍处于几何直观角度的描述阶段。学生对从数量关系角度的刻画函数对称性比较陌生，多表现为面对函数问题时从“形”的角度进行直观想象，缺乏从“数”的角度进行逻辑推理。另外，由于学生对函数定义中的符号语言比较陌生，抽象概括能力比较薄弱。为此，学生在抽象概括偶函数符号化语言方面存在困难。在教学中，教师一方面应通过类比函数单调性的学习，明确研究函数性质的基本方法；另一方面，应通过探究活动再次经历从函数图象的对称到特殊（具体）点的对称，再到任意点的对称（函数图象对称），直至函数对称性的代数表征的研究过程，使学生的认识在感性的基础上，逐渐上升到理性层面。

基于上述分析本课时教学难点：用对称点坐标的数量关系刻画函数图象对称性的符号化表达。

教学策略分析：结合课时的内容特点和学情分析，可以采用问题链的教学模式，以提升学生的数学抽象与逻辑推理的核心素养为根本出发点，以数形结合的思想方法直观想象偶函数的对称性；通过数学运算刻画函数图象对称，体会从特殊到一般、从具体到抽象在解决数学问题过程中的一般性和有效性的研究方法；由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分析、归纳、总结的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用。

三、教学环节的设计与实施

本节课，笔者设计了五个教学环节：引例探究，形成概念→任务驱动，建构概念→任务驱动，延伸概念→典例分析，加深理解→归纳反思，概括提升。

（一）引例探究，形成概念

导入：函数是刻画变量之间关系的数学模型，函数图象直观形象地反映了函数的变化情况，如图2中左边函数图象，函数[f（x）=x2]在区间[0，+∞]内，随着x的增大，[f（x）]也随之增大；如图2中右边函数图象，函数[f（x）=1x]在区间[0，+∞]内，随着x的增大，[f（x）]随之减小，用数量关系刻画图象的上升与下降的几何特征，如图2中左边的函数，就是[x1，x2∈0，+∞]，当[]都有[f（x1）lt;f（x2）]。

【问题1】换一个角度再来观察这两个函数图象，还具有其他特征吗？

【设计意图】引导学生回顾单调性中自变量与函数值的对应关系，通过观察函数图象特征，启发学生从对称性的角度思考自变量与函数值的关系，为学习新知作好铺垫。

【问题2】还有哪些函数图象也具有对称性？请说明函数的解析式。

【设计意图】引导学生再次回顾已学的函数，从函数图象和解析式两个角度，充分挖掘已有认知中具有对称性的函数图象，为后面学习用符号语言刻画函数图象对称性作铺垫。

【问题3】（选取学生举出的偶函数，结合引例中的函数）能说明这些函数图象关于y轴对称的理由吗？

【预案1】学生回答画图观察，依据初中所学，函数[f（x）=x2]图象在y轴一侧的部分沿着y轴翻折与另一侧图象重合，说明函数图象关于y轴对称。

【追问】为什么函数图象沿着y轴的一侧翻折与另一侧图象重合，可以说函数图象关于y轴对称？

【设计意图】引发学生思考：对于函数图象关于y轴对称的研究要考虑图象上的点关于y轴对称的问题，最终落实到点的坐标的数量关系，进而从数量的角度探究函数图象的对称性。

【预案2】例如，[f（x）]=[x]具有对称性，因为该函数图象是两条射线组成的图形，学生从图形的角度比较容易说明对称性，教师可以引导学生从数量的角度探究函数图象的对称性。

【问题4】如果函数图象沿着y轴翻折与另一侧图象必须完全重合，可以判定函数图象关于y轴对称，那么如何说明完全重合？

【预案】教师引导：从点出发，如图3所示f（-1）="f（1），f（-2）=f（2），f（-3）=f（3）……f（-x）=f（x）。于是，根据[（x，f（x）），（-x，f（-x））f（x）=f（-x）][均在函数f（x）的图象上]，[⇒f]（x）图形关于y轴对称。

【设计意图】通过问题引领学生回到图形，回到用点研究问题，实现从具体到抽象，特殊到一般来研究，从点对称到线对称，形成用数量关系刻画函数图象对称的概念雏形，逐步培养学生善于观察思考，提升逻辑推理的数学素养。

【问题5】请总结，函数的自变量与函数值具有什么样的对应关系时，函数图象关于y轴对称？

【设计意图】让学生从文字语言和数学符号语言表达函数图象关于y轴对称，并强调[x∈D]，"""""[-x∈D]。

（二）任务驱动，建构概念

【问题6】请再举出一个具体的函数解析式，判定此函数的图象是否关于y轴对称，以及是一种怎样的对应关系。

教师让学生同桌为一个合作小组，完成学习任务1并且分享。

【学习任务1】请从点对称的角度说明该函数是否关于y轴对称？说出自变量特征与函数值特征。

【设计意图】让学生从自选函数图象入手，再次感悟用数量关系刻画函数的对称性，将图象的对称转化为点的对称，体会研究函数性质的一般方法，有利于提升学生分析问题、解决问题的能力，培养学生逻辑推理、数学抽象的核心素养。

【问题7】对于函数[y=f（x）]，如果函数图象关于y轴对称，请用符号语言刻画函数图象关于y轴对称。

我们把满足上述条件的函数称为偶函数，进而得到偶函数定义（教师板书）。

【教师总结】一般地，设函数[f（x）]的定义域为D。如果对于∀‌x[∈D]，都有-x[∈D]。且[f（-x）=f（x）]，那么函数[f（x）]就叫做偶函数。

【追问1】函数[f（x）]是偶函数与图象关于y轴对称是什么关系？

【设计意图】在抽象表达偶函数定义的过程中，提高学生使用符号语言的能力，深刻理解偶函数的定义与函数图象关于y轴对称的充要关系，为后面奇函数的对称性作铺垫。

（三）任务驱动，延伸概念

【问题8】如果函数[y=f（x）]对称轴为x=1，x=a，那么该如何用符号语言表示上述规律？

【学习任务2】同桌为一个合作小组，完成下页表1并且分享。

【设计意图】利用小组讨论的形式，通过类比偶函数的学习，自主得出一般函数对称性的规律。学生再次经历“函数图象的对称性→函数图象中任意一点的对称性→自变量和函数值的代数特征→得到规律”的过程，进一步培养自主研究问题的能力。

（四）典例分析，加深理解

【问题9】判断下列函数是否是偶函数。

（1）f（x）=（x-2）2；（2）f（x）=[x]；（3）f（x）=x2+[1x4]；（4）f（x）=0。

【设计意图】通过四个函数的辨析，强调定义的层次性，进而掌握函数奇偶性的判断方法。

（五）归纳反思，概括提升

【问题10】探究偶函数概念形成及函数对称性的研究过程中，用到哪些方法和数学思想？通过本节课学习，在研究函数的性质方面有哪些收获？

【设计意图】引导学生归纳反思，对本节的重点知识和方法进行总结。主要是围绕偶函数概念的形成及其在形成概念过程中所利用的研究方法。

四、教学反思与经验提升

一是明确函数主线，体现函数性质这一单元教学的“整体有序性”。教师以数形结合的思想方法，引导学生直观想象图象对称并通过数学运算进行数量刻画，用点对称研究函数图象对称问题，体会“从特殊到一般、从具体到抽象”在解决数学问题中的一般性和有效性。学生通过典型例题及一题多变的学习，由浅入深、逐层递进。教师给学生提供比较、分析、归纳、总结的机会，帮助学生在探究和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用。

二是函数性质刻画的是函数的要素之间的关系，是函数概念精致化和系统化的一部分。本案例重点在于对函数的性质的刻画，体现了对函数的概念的深入理解。一方面，体现在教学中从学生所熟知的基本初等函数入手，引导学生经历直观描述到符号语言表达的抽象过程；另一方面，体现在学生在学习函数性质的过程中对函数概念与性质的进一步理解：当自变量x变化的时候，对应的函数值y也随之变化，这种变化中不变的规律正是函数的性质。

三是将研究函数的奇偶性的数学思想方法迁移到函数的对称性的教学内容上，是对函数性质研究的进阶设计。相应地，学生在一个较大时间跨度内对某一学习主题的认识、理解和实践，是从简单到复杂，从低水平到高水平的发展过程。

四是抓住数学本质，通过从具体到抽象的教学，借助数学图象、运用数学符号进行数学表达，提升学生数学核心素养。函数的奇偶性的本质是：当自变量x呈特殊变化，如取相反数，由x变成-x时，对应的函数值y不变或变为相反数。研究函数奇偶性的过程是“图形直观—自然语言—形式化定义”，用函数图象和代数运算的方法来研究函数的性质，体现了数形结合的思想，即通过几何建立直观，通过代数予以表达。

参考文献：

［1］刘春艳.基于数学抽象的概念形成：模型与案例［J］.数学通报，2021（6）.

［2］罗德建，刘春艳.基于数学抽象的“函数性质”单元教学设计［J］.数学通报，2021（7）.

［3］上海市教育委员会教学研究室.高中数学单元教学设计指南［M］.上海：人民教育出版社，2018.

［4］吴颖康，邓少博，杨洁.数学教育中学习进阶的研究进展及启示［J］.数学教育学报，2017（12）.

（责任编辑：杨强）