新课标下的立体几何备考建议

1 课程标准中该模块知识的解读

高中数学课程标准中关于该模块知识的阐述：立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.

（1）本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；

（2）用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；

（3）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；

（4）运用直观感知、操作确认、推理论证、度量等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.

该模块知识的主要内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、几何学的发展等.

2 新课标下考题特点

2.1 考点覆盖全面，题型一应俱全

无论是新课标卷还是全国卷，选择题、填空题一般不会给出图形.这就要求学生需要具备读题画图的能力和空间想象能力.

2.2 知识重复考查，问题背景新颖

新课标卷中的小题基本上都是关于几何体的表面积、体积等问题，从不避讳，不怕重复，需要特别注意；立体几何试题体现了“大稳定、小创新”的设计理念，强调数学的应用意识，关注对考生文化素养的考查.

2.3 大题考查全面，重点难点突出

新课标Ⅰ、Ⅱ卷对立体几何大题（解答题）的考查角度基本一致，前一问主要考查空间中点、线、面的位置关系，将平行、垂直关系作为考查的重点，后一问往往考查空间角的计算，属于中等难度.

2.4 知识融汇贯通，情境新颖多样

近年来，高考试题不断创新，从“小题”到“大题”新课标卷立体几何题越来越灵活，融合了课程学习、探索创新、生活实践等情境问题，对学生的批判性思维能力、阅读理解能力、信息整理能力、语言表达能力提出了更高要求.

3 新形势下考查重点

3.1 直观想象——空间几何体的表面积或体积

空间几何体的表面积和体积的考查实质要明确空间几何体的结构特征，并能进一步度量和计算长度、表面积、体积等.解决此类问题的常见方法有分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法（如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面）等，它们是计算一些不规则几何体的体积的常用方法.

3.2 数学模型——球的切、接及截面问题

熟悉基本的空间立体几何模型是解决球的切、接及截面等问题的基石.而掌握基本的解题方法是解决问题的关键.

（1）空间几何体的外接球问题

该问题的关键是确定球心位置，主要方法有：①将几何体还原或补为正方体或长方体，进而确定球心（补形找心）；②几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上（垂线找心）；③球心到各顶点的距离都相等（定义找心）；④球心一定在外接球的直径上.

求解几何体外接球的半径主要是根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R²=r²+d²解决问题.该关系使用频率非常高，考生一定要重视.

（2）几种特殊多面体的外接球和内切球问题

该问题的场景主要包括长方体、正方体、正三棱柱，对棱相等的三棱锥，四个面都是直角三角形的三棱锥，三条侧棱两两垂直的三棱锥以及正四面体等.

（3）解决立体几何截面问题的策略

①坐标法：将几何问题转化为一种代数运算.

②基底法：以平面向量及空间向量基本定理作为依托.

③几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质定理与判定定理，以及平面几何中相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.

3.3 数学运算——空间向量在立体几何中的应用

（1）立体几何解答题考查的知识点基本固定

立体几何是高考解答题必考题型之一，第一问一般可通过传统法解决，常考平行和垂直关系，或者体积、表面积问题；第二问一般通过建系解决，常涉及到线面角、二面角的求解，或者已知线面角、面面角求参数，其中法向量是考查的重点.

立体几何解答题的难度以中档题居多，难题偏少，需重点备考，力争得满分.

（2）向量法是解决立体几何解答题的主要方法

这里的难点在于涉及一些比较困难建立空间直角坐标系的问题，如垂直关系不明确，线段长度不明确等场景.同时还要重视基向量法的应用等.

（3）建立空间直角坐标系，一定要准确写出点的坐标

常用到的方法：①射影法（经常用）；②公式法（中点坐标公式、重心坐标公式等）；③向量法（利用平行、垂直关系求点的坐标，利用三角形法则或平行四边形法则求坐标，利用三点共线设坐标）；④几何法（把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质）；⑤待定系数法（设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标）;等等.

（4）求解空间距离问题

距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体.主要解题方法有两种：①几何法.找垂足求线段长、等面积法、等体积法等.②向量法.注意向量场景下两点间的距离公式、点到直线距离公式以及点到平面距离公式等.

3.4 逻辑推理——几何法在立体几何中的应用

（1）熟练掌握点线面的位置关系.

（2）熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.

（3）作辅助线找空间角、距离等.

（4）用规范的符号语言描述解题思路，避免歧义.

4 新课标下备考建议

4.1 回归教材，建立完整的知识体系

（1）熟悉教材，抓住知识点的联系

教材是落实数学课程目标、培养学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材.所以，教材是高考复习的重要依托.

（2）教材中见高考真题的“影子”

如截面问题，一直是高考中命题的一个重要方向，其往往来源于教材.

例1如图1所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

（ⅰ）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该样画线？

（ⅱ）所画的线与平面AC是什么位置关系？

新形势下空间几何体中截面的命题通常源于教材，以教材本源为场景，融入相应的知识与应用，突出对空间几何体的结构特征、截面的概念与形状等层面的考查.教材“影子”的作用是无穷的，培养考生空间想象能力与直观想象素养，帮助考生合理构建对应的概念与相关的知识网络，理解与掌握空间几何体基础知识，全面夯实基础.

4.2 研究真题，把握高考的命题导向

高考真题往往以必备知识来设置探索创新情境，其正确运算必须基于空间想象，同时必须依靠严谨的逻辑推理，这样才能发现空间几何体中相关量之间的关系，进而完成对应问题的分析与求解.

例2在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA－CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为（）.

解析过程略.答案为：A.

在实际解析过程中，可通过“裁剪”展开降维策略，基于立体几何中空间角的构建，合理解决空间几何体中不同平面内的点的性质的“三维”问题：也可通过转化展开降维策略，回归到平面解析几何的“二维”问题，利用平面解析几何中椭圆、双曲线的定义与方程来转化.由“三维”问题，从不同视角转化为“二维”问题，实现问题的降维处理.

4.3 夯实基础，提升高考的应对能力

（1）理解并记忆空间几何体涉及到的公式、公理、性质定理与判定定理，并熟练掌握每一个公理或定理的作用.

（2）学会画图，能够构建符合题目要求的图形，以便快速找到内在联系.高考题在这部分的考查基本上是2～3个小题，而且大多数没有图形，因此快速画出符合题目要求的图形显得尤为重要.这就要求学生不仅要学会画图，而且要对常见的图形具有的性质做到“了如指掌”.

（3）熟练掌握基本模型（切接模型、正方体模型、长方体模型、在长方体的8个顶点中任取四个构成的三棱锥模型、外接球模型等）.

（4）掌握处理垂直、平行问题的一般方法，特别是作辅助线的方法.

（5）掌握空间角的基本概念，能利用几何法（定义法）处理简单的空间角问题.

（6）掌握利用向量法解决空间几何体问题的一般方法和书写格式，注意解三角形与平面几何知识在解题中的应用等.

4.4 抓住本质，培养解决问题的关键能力

在实际解题与应用过程中，鼓励学生灵活选择向量方法与几何方法，从不同角度解决立体几何问题，引导多维思考，凸显问题本质，提升学生问题解决的关键能力.