压轴题应回归数学素养的本质

高考真题和课本习题是命题专家对学生学科素养的考核，数学压轴题教学应回归数学素养的本质.高考数学压轴题具有综合性和创造性特点，要求学生面对复杂、新颖问题时，能灵活地运用相关知识，恰当地进行思想方法迁移.压轴题能很好地考查学生思维的灵活性和创造性.在教学实践中，我们发现大部分学生面对压轴题时一筹莫展，归根结底是在平时的训练中没有落实素养的形成.因此，在压轴题的教学中应淡化技巧，落实通性通法，避免路径依赖，抓住问题本质，激发学生学习兴趣，引导学生自主探究.

1 注重通性通法，落实素养形成

数学课堂围绕的核心是“教什么”“怎么教”，在解题教学中，教师应该教会学生分析这道题考查了什么知识点，从通性通法落实“四基”，夯实素养.通性就是概念所反映的数学基本性质，通法就是概念所蕴含的数学思想和方法.讲解试题应淡化技巧，落实通性通法，这样有利于学生通过实例理解数学抽象与数学的一般性、逻辑推理与数学的严谨性、数学模型与数学应用的广泛性之间的联系，有利于学生素养的提升.下面以2020年新课标Ⅰ卷函数与导数压轴题为例加以分析.

不等式恒成立求参数取值范围问题是导数压轴题的常客，主要考查考生的分类讨论能力.试题中函数结构往往比较新颖，绝大部分都不能参变分离，因为分离成功后变成一个不含参的函数再求最值，就失去了提升学生素养的机会；再者，参变分离后的新函数不一定能求出最值.例如，2010年新课标Ⅰ卷函数与导数压轴题，强行参变分离需要用到高等数学中的洛必达法则求极限，有些函数的极值点无法求出，有些函数极值点是较复杂的无理数时求该函数最值有一定的运算量.本道题目的命制是因为各地模拟题都在考端点效应，为了防止考生生搬硬套、机械性刷题，刻意设置导函数不单调，要求考生具备独立分析的能力.虽说参变分离可以解决此题，很多教师在讲解本题时也常用这种方法，但本题参变分离后得到的新函数，其是否能顺利求出最值具有很大的不确定性，并且求导后的因式分解需要具备一定的运算能力，考场上机会成本很高.课堂需要有效的预设，恰当的生成，教师不应当是事后诸葛亮，需要根据学生的特点，把握住问题的本质，注重通性通法.函数与导数压轴题主要考查考生利用导数来刻画函数的局部变化，研究函数的性质.试题中嵌入参数恰恰是考查考生分类讨论能力，有利于考生数学抽象、逻辑推理、直观想象素养的提升.

本题中不等式的变形技巧是将ex置于分母之中，目的是优化函数结构，减少求导次数，这种处理方式在以往的高考真题中多次出现，属于基本技能.根据原函数和导函数的特点，对参数合理分类是成功解决本题的关键，这种分类与整合思想有利于发展学生逻辑推理能力和运算求解能力.此法在解题教学中理所当然应为通法.

利用通性通法进行解题教学，有利于学生思维能力的提升，帮助学生能快速准确地把握数学核心概念的本质，提升数学素养.

2 避免路径依赖，抓住问题本质

在高三长达一年的复习中，考生接触了大量的数学题目，惯性的力量会使某些特定方法不断自我强化，以致于遇到类似题目能很容易迅速解决，这就是坊间俗称的“套路”.高考压轴题的命制承担着数学学科的选拔功能，注重对学生数学学科核心素养的考查，题目的设计肯定会特别关注学生思维品质的形成，关注学生学会数学的能力.如果没有真正搞懂问题的本质，路径依赖很容易“翻车”.与上述2020年新课标Ⅰ卷导数压轴题类似的题目还有2007年高考题，如下：

点评：此类题目的特点是不等式在定义域端点处取等号，俗称“端点效应”.

由于需要说明其他区间不合题意，因此需要找到相应的矛盾区间.本题中的矛盾区间为（0，x1），

端点效应与矛盾区间几乎成为解决这类问题的套路，特别是后面几年高考高频出现，如2010年新课标Ⅰ卷理科第21题、2014年新课标Ⅱ卷理科第21题.

对于上述2020年这道压轴题，学生没有抓住问题的本质，只注意到简单不等式取等号，机械性地生搬硬套，更有甚者直接分离，再用洛必达法则求极限.避免路径依赖，抓住问题本质是在高三解题教学中应该特别注意的.3 自命题、自成长

高三压轴题的教学需要教师在教学实践中以数学学科核心素养为依托，不断总结经验，根据高三学生的认知规律，以往年高考题为载体，认真分析题目背后的深意，除对题目中蕴含的数学知识和数学结构作出清晰的梳理外，还需要准确理解背后蕴含的数学思想，解题运用通性通法，避免路径依赖，抓住数学本质，激发学生学习兴趣，这样才能在有效的时间内高效备考，才能让素养在课堂中真正落地.