归纳类型，诠释应用：基于复合函数的零点问题

复合函数的零点及其综合应用问题，是基于函数与方程的基础知识，结合函数的零点知识加以渗透，同时融合函数中的相关概念与综合应用，充分体现了函数与方程思想、数形结合思想以及化归与转化思想等，能够很好地考查化归与转化、数形结合、逻辑推理以及分析问题与解决问题的能力等，经常出现在选填压轴试题当中，备受命题者亲睐.本文中结合复合函数的零点问题的基本类型加以归纳，合理诠释对应的解题技巧与方法，抛砖引玉.

1 af（x）型

点评：涉及“af（x）型”复合函数的零点问题，解题时往往基于函数y=f（x）的图象与性质，结合换元t=f（x）加以合理变换，利用t的取值情况并结合函数y=f（x）的图象与值域加以数形结合，通过直观想象与分类讨论思维来分析并解决有关问题，从而实现问题的突破与求解.

2 f［f（x=k或f［g（x=k型

点评：涉及“f［f（x=k或f［g（x=k型”复合函数的零点问题，解题时往往借助换元思维，令t=f（x）或t=g（x）进行变换，将问题转化为f（t）=k的情况，利用函数y=f（x）的图象与性质，并结合变量k的取值情况来分类讨论与直观想象，数形结合处理对应的复合函数零点问题.

3 f［f（x=x或f［g（x=x型

4 f［f（x+af（x）+b=0型

点评：涉及“f［f（x+af（x）+b=0型”复合函数的零点问题，经常借助换元思维，令t=f（x）进行变换，合理分拆，将此类涉及复合函数零点的方程问题转化为y=f（t）与y=－at－b的图象的交点问题，给问题的切入与应用创造更多的机会，借助数形结合、分类讨论与直观想象来分析与处理.

其实，解决复合函数的零点问题，无论问题类型如何变化，常常采用换元法来达到目的，通常将复合函数表达式中的某部分进行换元变换成t，从而将函数看成是由两个简单函数y=g（t）与函数t=f（x）复合而成，进而借助研究直线y=t与曲线y=f（x）的图象解决相关问题.此类问题的解题思路较为固定，采用换元法，结合函数的图象与性质加以直观，利用研究直线与曲线的图象的直观性来灵活、形象地解决问题，以不变应万变，掌握解题的模式化，实现解题的最优化.