巧思维展开，妙视角变式：一道解三角形题的探究

在新教材、新课程、新高考的“三新”背景中，解三角形是基于平面向量的一类基本应用问题，平面几何的“形”与三角函数的“数”二者巧融合的一类数学综合问题，可以巧妙融合初中、高中阶段的数学基础知识，交汇高中阶段中的不同知识模块之间的联系，成为充分落实新课标中“在知识交汇点处命题”的命题指导思想的一个重要考点，备受各方关注.

1 问题呈现

此题以三角形为问题场景，借助三角形的角平分线所对应的长度，以及角平分线分对应边所成的两部分长度的关系来创设，由此确定三角形的几何特征与性质，进而确定三角形的三内角的正弦值所对应的三角关系式的值.

在实际解决问题时，回归解三角形问题的本质与内涵，可以从解三角形思维切入来分析与求解，是解决问题的一种“通性通法”；而借助所求三角函数关系式的值，可以从三角函数思维切入来解决，结合三角恒等变换公式来转化与应用；结合三角形这一平面几何图形的直观性，以及所求结果的定值这一性质特征，可以从特殊思维切入来巧妙突破，实现问题的“巧技妙解”.

2 问题破解

2.1 解三角形思维

点评：借助三角形的斯库顿定理，利用边长之间的关系来确定两边的乘积关系，为三角形的面积公式、余弦定理与正弦定理等的进一步应用创造条件.三角形的斯库顿定理，是课外的一个拓展与提升，初中平面几何教材中并没有涉及，是一个非常特殊且用处较大的平面几何基本定理.

2.2 三角函数思维

点评：借助三角函数关系式的求解结果，从解三角形中的正弦定理切入，利用积化和差公式、二倍角公式、诱导公式等对应的三角恒等变换来转化与应用，实现三角函数关系式的求值与应用.利用三角恒等变换公式法来分析与处理时，逻辑推理比较复杂，思维方式比较难以把握.

2.3 特殊思维

点评：借助所求结果的确定性以及平面几何图形的特殊性，合理构建特殊平面几何图形，通过特殊法思维来分析与处理，给问题的分析与求解创造更加简捷的方式，为快速处理此类问题奠定基础.用特殊思维法解题时，要注重问题的基本特征，不能盲目特殊化处理，同时还要注意条件与结论之间的联系与转化.

3 变式拓展

3.1 一般化变式

3.2 类比性变式

合理借助解三角形中的三角形面积关系与面积公式加以巧妙转化，综合余弦定理的应用，实现线段长度的分析与求解.

4 教学启示

4.1 “数”“形”融合，化归转化

解三角形综合问题中，合理通过情境，巧妙创设初中、高中阶段不同数学基础知识之间的联系，从而自然地融入数学思想方法与技巧策略等.

而在具体破解此类问题时，“数”与“形”的融合与应用都可以达到目的.实际解题时，经常可以借助解三角形中“数”的本质与内涵，有序进行数学运算；也可以借助解三角形中“形”的实质与回归，巧妙直观想象，合理化归转化.

4.2 回归本质，拓展思维

在解三角形综合问题中，借助解三角形、平面几何等知识中相应的定理、公式等，有机实现三角形中对应边与对应角的转化与应用.同时合理回归平面几何图形的直观形象，数形结合来直观处理与应用.

从问题中合理挖掘内涵，回归问题的本质，借助解三角形问题的数学运算或直观想象，实现初中、高中知识间的交汇与融合，特别是巧妙将相关的解三角形、三角函数、函数与方程等知识巧妙地渗透与融合进去，拓展数学思维方式与解题策略，实现解题过程的优化与创新应用.