一道二模试卷中代数式最值试题的探究

摘要：涉及平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围）问题，是高考试卷中的一个创新点与难点所在，常考常新，变化多样.结合一道代数式最值问题的求解，挖掘代数式的结构，从不同思维视角切入，借助不同技巧方法解决，开拓学生的解题思路，指导数学教学与解题研究.

关键词：解几；最值；圆；余弦定理；柯西不等式

平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围）问题，通常是模拟考试、高考、自主招生以及竞赛等考试数学命题中的一个热点与难点，各类题型都可以创新设置，命题角度广，内涵丰富，备受命题者青睐.同时，平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围）问题，形式多变，创新新颖，花样翻新，难度较高，但其基本解题思路与技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1 问题呈现

此题以圆的方程为问题背景，利用圆上的一动点P（x，y）所满足的代数式（一次式与根式的复合）来创设，进而求解对应代数式的最大值.问题简单明了，但内涵丰富，如何合理切入成为解决问题的关键.

合理挖掘根式的结构特征，可以从根式的几何意义入手，利用平面解析几何中的两点间的距离公式来转化与应用；也可以从根式的特征入手，转化为不等式的形式，利用重要不等式的性质来合理放缩与转化.而在实际解决问题时，要合理深入挖掘与优化拓展，从而实现巧妙解题与应用.

2 问题破解

2.1 解三角形思维

点评：通过所求代数式的结构特征，由根式联想到平面解析几何中的两点间的距离公式，借助圆的方程进行常数代数处理，巧妙配方，分别将两个根式构建为定圆上的动点到两相应定点间的距离问题，给问题的解决奠定基础.而求解平面解析几何中的两线段长度之和的最值问题，可以借助解三角形思维，通过直观的图形，利用余弦定理或正弦定理这两种的视角切入加以应用，进而求解对应的最值问题.通过合理的数形结合与巧妙的直观想象，从而实现问题的突破与求解.

2.2 不等式思维

点评：根据所求代数式的结构特征，吻合柯西不等式的变形式a+b≤（1+1）（a+b），进而借助柯西不等式来合理放缩处理，同时进一步结合圆x²+y²=25上动点所对应的变量的取值限制－5≤x≤5来放缩，达到求解与应用的目的.多次利用不等式的基本性质来放缩处理时，一定要注意多次放缩时等号成立的一致性，才能保证最值求解的正确性与严谨性.

2.3 对称思维

点评：通过所求代数式的结构特征，合理变形转化为圆上的一个动点到两相应定点间的距离问题时，利用动点到两定点的对称性思维，数形结合，直观想象确定动点位于两定点构成的线段的中垂线上时，其取得最值，进而数形直观来确定相应的最值问题.对称思维是结合以上解三角形思维的特点，并结合特殊思维来直接确定，虽然缺乏一定的严谨性，但解题目标更加明确，效果更加良好.

3 教学启示

涉及平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围等）的综合应用问题，借助“动”与“静”的场景创设，具有一定的探索性与综合性，是平面解析几何与平面几何、函数或方程、不等式、三角函数、平面向量等模块知识合理交汇与融合的一个重要场所，成为全面落实“四基”与考查“四能”的一个基本考点.

特别，对于此类平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围等）问题，合理抓住一些常见的典型问题，从题设条件入手，挖掘问题的内涵与实质，合理构建与之相关的参数或代数式所对应的不等式、代数式或几何直观模型等，巧妙变形与转化，利用相应的技巧方法与策略来分析与处理，有时单种技巧策略分析，有时多种技巧策略综合，实现综合应用问题的巧妙解决.