案例驱动的高中数学建模教学实践探索

1 真题再现及分析[KH-1]

某校兴趣小组在如图1所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知AB=8米，E为AB中点，比赛中两机器人均以匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ（0lt;θlt;π），AQ与AB的夹角为α0lt;αlt;π/2.若两机器人运动方向的夹角为π/3，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值.

1.1 高中数学建模教学元素分析

此案例包含几何、函数、向量及运动学中的匀速直线运动等要素.在矩形区域ABCD中，两机器人均以特定方向和速度行进，并通过几何关系和向量计算确定拦截点M的位置与条件.该问题涉及角度、路径和距离的最优化，体现了数学建模中的构建模型、建立数学表达式、优化求解和验证模型的过程.

1.2 数学建模素养培养过程

（1）问题理解与建模背景分析

教师引导：教师首先通过图形展示，并解释题目的背景，让学生了解实际问题中的情境.接着提出：“在这个机器人拦截问题中，如何根据给定条件建立一个数学模型？我们需要解决哪些核心问题？”

学生讨论：学生通过分析问题，初步提出方向，比如寻找两机器人的运动路径、计算夹角、路径长度等.学生可能会提出“拦截点的条件是什么？怎样通过角度关系和速度找到最大路径和？”这样的疑问.

（2）构建数学模型

教师引导：教师继续指导学生运用向量知识建立数学模型，根据运动路径建立方程，利用几何、三角关系设定夹角和距离约束条件.引导学生使用向量运算来描述两机器人的运动路径，进而求解其路径交点和两点的总路程.

学生实践：学生通过几何图形和向量公式，逐步建立两机器人的运动方程，并分析夹角和路径的关系.学生尝试使用正、余弦定理处理角度与距离的关系.

（3）模型求解与优化

教师启发：教师鼓励学生探讨如何在给定条件下找到两机器人路程和的最大值.引导学生从极值的角度分析，如何通过调整参数（如θ和α）求得最大值.教师反问在哪种情况下“两机器人路程和出现最大值？角度和路径之间存在怎样的最优关系？”

学生计算：学生通过求导等方法，计算机器人运动的极值，并尝试找到在几何约束条件下的最优解.

（4）结果验证与反思

教师总结：教师总结学生的解题过程，帮助学生检验模型的合理性，并引导学生反思整个过程的步骤、选择及可能的改进点.问题的实际意义和模型的简化假设也应进行讨论，比如均速、边界问题等.

学生反馈：学生对建模的过程提出反馈，讨论其他可能的模型改进或算法优化，如路径选择的变换等.

1.3 "培养目标

通过此案例，培养学生从实际问题出发，抽象出数学问题，并建立合理模型的能力；学生学会通过数学表达式与方程推导出最大值或最优解，能够在复杂情境下进行优化；培养学生利用数学工具解决实际问题的意识，提高综合运用几何与函数等多种知识解决问题的能力.

解析：如图2，在△AME中，有AM²+EM²－2AM·EM5cos∠AME=AE²，即AM²+EM²－AM·EM=（AM+EM）²－3AM·EM=16，由此可得（AM+EM）²－3AM·EM=16≥（AM+EM）²/4，当且仅当AM=EM=4时等号成立，故AM+EM≤8，即两机器人运动路程和的最大值为8.

2 立足新教材的案例分析

2.1 案例背景

选择一个与“最优路径问题”相关的案例：假设一名学生需要从家到学校，途中有多个可能的路径.通过数学建模，学生需要找出最短的行走路径，并考虑交通状况和时间因素.此案例结合高中数学新教材中的函数、几何和不等式等内容，适合培养学生的建模思维.

2.2 教学过程

（1）问题导入

教师：[JP3]同学们，今天我们来探讨一个生活中的问题.假设你们每天上学，从家到学校，有很多条不同的路径可供选择.怎样才能找到最优路径，既省时又省力呢？

学生：可以通过地图查看每条路径的长度，然后选择最短的那条.

（2）建立模型

教师：很好！我们可以利用数学知识来建立一个模型.首先，请大家绘制出家和学校的地图，并标出所有可行的路径.接下来，如何表示每条路径的长度呢？

学生：我们可以用直线段表示每条路径，计算每段的长度，然后相加.

教师：那么请讨论一下，如果考虑到交通情况，比如某条路径在高峰期经常堵车，你们会怎么处理？

学生：我们可以在路径长度的基础上增加一个交通系数，表示这条路的拥堵情况.

（3）模型求解

教师：非常好！现在，请大家利用绘制的地图和增加的交通系数，列出每条路径的函数关系，并计算出相应的实际“时间成本”.这样，我们就可以找出最短路径了.（学生开始计算路径，讨论交通系数的影响.）

学生：我们发现，尽管路径A比路径B短，但是由于交通情况，路径B的时间成本实际上更低.

（4）结果分析

教师：很好，大家都找到了最优路径.那么，请各组分享你们的结果和分析.

学生1：我们发现选择路径C在早高峰期间虽然更长，但因为没有交通堵塞，总时间更短.

学生2：我们团队通过比较，得出选择路径D的成本最低，尽管它不是最短路径.

教师：非常好！这反映了“最短路径”并不一定是“最佳路径”.我们在建模时不仅要考虑距离，还要综合考虑其他影响因素.

（5）反思与总结

教师：通过这个案例，大家有没有体会到数学建模的价值？

学生：我觉得建模帮助我们更系统地分析问题，考虑到多种因素，做出更合理的选择.

教师：没错！这正是新教材中强调的“数学应用意识”.在实际生活中，面对复杂问题时，我们需要将数学知识与现实结合，进行有效的分析和判断.

2.3 案例驱动建模的成效分析

通过这个案例驱动的教学过程，学生不仅学习了如何建立和求解数学模型，还提高了综合运用数学知识解决实际问题的能力.案例的设计让学生从生活中提取问题，建立模型，并进行深入分析，使数学学习不再抽象，而是与现实紧密相连.整个过程中，学生通过互动交流，培养了团队合作和沟通能力，也增强了他们对数学建模的兴趣和信心.

3 高中数学建模素养培育策略

3.1 基于真实情境的案例设计

在高中数学建模教学中，案例的设计应紧密围绕学生的生活经验和社会实际，以增强学生的参与感和兴趣.选择与校园生活密切相关的案例，如校车调度、校园资源分配或学生社团活动安排，能够激发学生的学习动机.这些情境不仅让学生认识到数学在实际生活中的应用，还能提高他们解决现实问题的能力.

3.2 多元化的建模工具与方法

在数学建模教学中，教师应鼓励学生使用多种工具和方法进行建模与求解，以培养他们灵活运用知识的能力.教师可以在课堂上介绍常见的数学建模工具和基本操作演示.通过这种方式，学生能够在建模过程中自由选择适合的工具，增强他们的实践能力.

3.3 注重过程性评价与反馈

过程性评价在数学建模教学中占据重要地位，有助于促进学生的学习和反思.教师应在建模的各个阶段给予学生及时的反馈，以帮助他们识别问题、调整思路.与传统的结果导向不同，过程性评价更注重学生在建模过程中的表现和思考，鼓励他们在每个阶段进行反思和总结.

通过这种过程性评价与反馈机制，学生能够不断调整自己的策略和思路，在实践中不断成长，进而提升其数学建模素养.