函数与方程视角，推理与直观结合

涉及高次函数的零点及其综合应用问题，是高考数学试卷中比较常见的一类常见题型.此类综合应用问题，设问新颖创新，形式变化多端，可以合理融入函数与方程思想、函数与导数应用等，交汇函数模块、导数模块中的基础知识，考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，具有较好的选拔性与区分度.本文中结合2023年高考数学全国乙卷文科第8题的多角度破解，合理发散学生思维，总结常规方法，提升学生解决问题的能力.

1 真题呈现

该题问题简捷明了，具体破解时，可以从函数思维视角切入，以“数”应用，结合求导处理，利用函数的单调性来分析与处理；也可以从方程思维视角切入，结合方程的变形，转化为直线与曲线的图象问题，以“形”直观，利用图象交点来直观分析与处理.

2 真题破解

2.1 函数思维

解后反思：根据函数存在零点，通过函数的整体思维，合理求导，利用参数的分类讨论，并结合函数的单调性与极值的判断，巧妙化归与转化，合理构建含参不等式组来分析与求解.保留函数的整体性，整体法思维也是解决此类问题最为直接、最为常用的方法，只是有时数学运算量较大.

2.2 方程思维

解后反思：根据含参函数零点的个数，转化为对应的方程问题，合理进行参变分离，巧妙“一分为二”，将问题转化为直线与函数图象的交点问题，结合函数图象的单调性以及极值的判断，合理数形结合与处理.参变分离，直接研究相关函数的图象问题，可以使得问题的解决更加直观形象.

解后反思：根据含参函数存在零点，化归为对应的方程问题，合理进行半参变分离，同样加以“一分为二”，将问题转化为直线与相应简单函数的图象的交点问题，结合参数的分类讨论，并从直线与曲线相切的情形入手来确定相切时的参数值，数形结合，根据直线的斜率确定参数的取值范围.半参变分离，借助函数的图象与数形结合，有时也可以很好地解决相应的含参函数的取值范围问题.

3 变式拓展

借助原高考真题的场景与解析过程，从参数的取值情况以及函数零点的个数之间的关系，从另一个视角来设计变式问题.

以上两个变式问题，是基于原高考真题的场景，通过改变函数的零点个数，从不同视角来确定参数的取值范围.具体的解题过程，可参照以上高考真题的解析过程，这里不多加以叙述.

4 教学启示

4.1 总结常规方法，归纳常见思维

解答一些相关函数的零点及其综合应用问题时，最常用的常规方法就是函数思维与方程思维，或直接利用函数本质，结合函数的求导处理，利用函数的单调性与极值等来数学运算与逻辑推理；或利用方程内涵的恒等变形，采取分离参数，主元分离等方法，做到一“静”一“动”，一“变”一“常”或一“直”一“曲”，“动”直线，“静”曲线，巧平移，妙变换，借助函数图象的直观性来处理.

通过函数思维或方程思维，借助逻辑推理或数形结合解决问题.函数思维重逻辑推理，合理数学运算；方程思维重“直”“曲”分离，“动”“静”配合，直观想象.

4.2 倡导“一题多解”，实现“一题多得”

借助典型高考真题的“一题多解”，合理发散数学思维，巧妙融合数学基础知识与数学思想方法，进一步结合“一题多思”“一题多变”等探究，可以使得我们的解题思维更加开阔，解题思路更加活跃，数学知识的掌握更加熟练，问题的破解更加快速有效，从而全面提高我们的知识水平和思维能力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养.