2023年高考全国卷三角试题分析与备考策略

摘要：本文中对近三年新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、甲卷（文理）和乙卷（文理）六套试卷三角函数试题的考查情况进行分析和总结，并围绕如何培养学生的数学核心素养，以及对新课标、新教材、新高考背景下高三数学三角函数板块的教学实践及备考复习提出几点建议.

关键词：解三角形；三角函数；核心素养；教学

1 近三年三角函数及解三角形高考试题分析

三角函数与解三角形是高中数学领域的重要模块，是考查考生逻辑推理、数学运算和直观想象素养的主要载体.通过研究2023年的全国卷试题，不难发现，有关三角板块的命题较稳定，难度以中等题为主，偶尔会有个别难题.近三年来新高考数学全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国甲卷（文、理）、全国乙卷（文、理）中三角函数及解三角形部分试题的题型、题号、分值，以及核心考点、问题情境与难度汇总如表1～4所示.

根据上表，2023年高考数学对三角函数及解三角形内容的考查有以下几个特点：

（1）分值比重相对稳定

2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷基本体现出“两小一大”的特点，即2道小题，1道大题，占20分；而2023年甲卷（理）则继续保持2022年4道小题的考查方式，占20分；2023年乙卷（理）与三角知识有关的题则为“一小一大”，占17分.

（2）重点考查主干知识

2023年的6套高考全国卷均重点考查了三角学中的主干知识，主要考查了同角三角函数关系（甲卷理7），诱导公式（甲卷理7），两角和差的正余弦公式（Ⅰ卷8），二倍角公式（Ⅰ卷8）（Ⅱ卷7）；重点考查了三角函数的图象与性质（乙卷理6）（甲卷理10文12），求ω和φ等参数（Ⅰ卷15）（Ⅱ卷16）（乙卷理6）；全面考查了解三角形的相关知识（6套卷）.

（3）合理控制试题难度

2023年的6套高考全国卷的三角题目均没有出现怪题、偏题，更没有回避“必考点”，既有对三角恒等变换、三角公式的简单考查（Ⅰ卷8，17）（甲卷理7）（Ⅱ卷7）；又有对三角函数性质的综合性考查（Ⅰ卷15）（Ⅱ卷16）（乙卷理6）（甲卷理10文12）；还有对三角形中的角平分线、中线等“爪子模型”的考查（Ⅱ卷17）（甲卷理16）；学生感觉试题比较熟悉，考的是基础，给人一种简单之感，但又需要学生具有一定的计算能力.其中Ⅱ卷16、甲卷理10文12、甲卷理16更是考查了学生对三角部分基础知识和基本方法的深刻理解和融会贯通的应用，考查学生数形结合能力和逻辑推理素养.

2 2023年高考全国卷三角函数典例剖析

2.1 重视对基础知识和基本方法的考查

三角函数是中学数学中重要的基本初等函数，概念、公式众多，对基础知识的考查围绕诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质等重点内容进行命题，基础性试题大多源于教材，平易近人，是重要的得分试题.

考向1 三角恒等变换

题1 （2023甲卷理7）“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”的（" ）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

题2 （2023新高考Ⅰ卷8）已知sin（α－β）=13，

cos αsin β=16，则cos（2α+2β）=（" ）.

A.79

B.19

C.－19

D.－79

试题评析：题1利用同角三角函数的基本关系求解；题2根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin（α+β），再利用二倍角公式计算.两道题均考查了学生对基础知识的掌握情况，入口宽，起点低，对数学基础扎实的学生而言难度不大.

考向2 三角函数的图象与性质

题3 （2023乙卷理6）已知f（x）=sin（ωx+φ）在区间π6，2π3单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=f（x）的图象的两条对称轴，则f－5π12=（" ）.

A.－32

B.－12

C.12

D.32

题4 （2023甲卷理10文12）已知f（x）为函数y=cos2x+π6向左平移π6个单位所得函数，则y=f（x）与y=12x－12的交点个数为（" ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

试题评析：题3根据题意分别求出函数的周期，再根据其最小值求出初相，代入x=－5π12即可得到答案，综合考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中低档题.题4若从数形结合入手，需要学生准确画出两个函数的图象，考查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况以及数形结合的能力，若采用导数法需要从三角函数恒正恒负的区间进行讨论，要求学生具有较强的逻辑分析能力，体现了对学生逻辑推理素养的考查.

2.2 一脉相承，多套卷均考查关于ω，φ等参数的取值范围经典题型

由于三角函数具有周期性，图象成中心对称和轴对称图形，三角函数又具有有界性，所以对三角函数性质的考查往往通过对其图象特殊性的认识来进行.近两年多套试卷均通过求ω的取值或φ的取值范围来考查三角函数的性质，如2022甲卷文5，2022乙卷理15，2022新高考Ⅰ卷6，2022甲卷理11，而这些题型在往年地方卷的真题中常有出现.

考向3 三角函数中关于ω，φ等参数的取值范围

题5 （2023新高考Ⅰ卷15）已知函数f（x）=cos ωx－1

（ωgt;0）在区间［0，2π］有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________.

题6 （2023新高考Ⅱ卷16）已知f（x）=sin（ωx+φ），

如图1，A，B是直线y=12与曲线y=f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）=________.

试题评析：上述两题都体现了整体性的思想.题5将特值0和2π代入函数解析式，然后将ωx当成一个整体求解；题6的关键是先设出A，B两点的坐标，再利用|AB|求解出ω的值，后面确定φ的值就顺理成章了，对中等水平的学生具有一定的挑战性，是区分度较高的一道好题！

2.3 加强与其他板块的结合，体现综合性与应用性

三角函数作为重要的基本初等函数，在立体几何、平面向量中都有着广泛的应用.对三角函数的考查可以在函数与导数的问题情境中体现，这也是近年来高考试题中三角函数内容考查的特殊之一.

题7 （2023甲卷理13）若f（x）=（x－1）2+ax+sinx+π2为偶函数，则a=________.

试题评析：本题比较基础，利用偶函数的性质f（－x）=f（x），即可求出参数a.

3 2023年高考全国卷解三角形典例剖析

3.1 考基础，考能力，出活题

题8 （2023新高考Ⅰ卷17）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sin B.（1）求sin A；（2）设AB=5，求AB边上的高.

试题评析：题目第（1）问打破了以往解三角形问题的常规命题思路——如边角互化、正余弦定理等，需要学生利用三角形内角和定理及题目条件先求出角C，再利用三角恒等变换求出sin A；第（2）问也具有创新性，以往的题型都是直接利用正弦定理、余弦定理求出a边，但本题还需要先求出sin B才能求出AB边上的高，是一道反套路、体现基础性和创新性的好题.

3.2 稳中有变，变中有新，但考查的主体知识不变

题9 （2023新高考Ⅱ卷17）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1.（1）若∠ADC=π3，求tan B；（2）若b2+c2=8，求b，c.

试题评析：本题第（1）问利用等面积法求解，比较基础，体现了命题人对学生的关怀.第（2）问思维量提高，考查方式灵活，体现高考题入口宽、出口窄的特点，一题多解给考生提供了广阔的思维空间，通过方法的选择，甄别出考生能力的差异，达到精确区分考生的目的.

题10 （2023甲卷理16）在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=________.

试题评析：题10是一道比较简单的压轴题，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规，但考查方式新颖.

4 高考三角板块的教学及备考建议

根据近年来全国高考卷三角试题的命题情况，笔者对高三三角板块的备考提出如下几点建议.

4.1 立足课标和课本，夯实基础，构建知识体系

近几年全国卷中的很多三角试题是由课本例题和课后习题演变而来，采用更换情境、组合等手段来提高命制试题的创新性和综合性.这种命题方法起点低，入手容易，但完整解答题目具有一定难度，学生在复习时不能忘“本”.

因此，在一轮备考时，教师应该立足新课标和新教材，注重落实“双基”，让学生在解决数学问题的过程中，发展数学能力，培养其数学核心素养［1］.

4.2 规范表达，养成严谨的作答习惯

在参加2023年广东省新高考Ⅰ卷阅卷的过程中，笔者发现逻辑思维清晰且知道该题考查什么知识点的学生，其推理过程往往写得简洁，关键点易于分辨.因此，教师在日常教学中应明确哪些步骤是必须写的，必要时可以投影学生的典型书写错误.另外，教师在讲解题目时，可以适当引导学生分析该题考查的知识点及得分点，因为解答题是踩点得分的，即使没有全部做出来也会有步骤分.当然，应试可以取巧，但日常训练不可取巧，还是要扎扎实实，一步一个脚印，吃透每一道做过的题［2］！

4.3 提炼模型，建立解题大观念

模型是没有背景的规律载体，是具有通用性的大观念.教师在日常教学中引导学生不断积累，不断运用大观念解决问题，形成研究问题的基本范式，进而积累基本活动经验.而一旦有了活动经验的引领，学生的数学学习将成为有目的性、有方向性的活动，进而就能从容应对这类高考题；例如高三复习三角形时，“爪型模型”应该重点突破，让学生熟练感悟其中的思想方法，这样才能从容应对这类高考题.

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.正所谓“教学有法”“教无定法”“贵在得法”，教学之路永无止境.要想在高三紧张的课堂教学中培养学生的数学核心素养，需要我们合理运用各种教学方法和策略，才能达到最佳教学效果［1］.

参考文献：

［1］陈泳.新高考背景下解三角形备考分析与教学实践——2022年数学新高考Ⅰ卷第18题阅卷有感［J］.理科考试研究，2023（7）：19-24.

［2］方勇.2020年高考全国卷三角试题评析及备考建议［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2020（17）：29-32.

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