例谈如何利用探究活动培养学生的核心素养

2024-12-31常欢

中学数学·高中版 2024年7期

摘要：本文中以“借助长方体模型探究几何体的三视图”这节课为例，通过设计探究活动，学生从熟悉的看得见、摸得着的几何体——长方体入手，建立直观感知，结合学过的线面平行、垂直知识发现三视图的变化规律，一步一步从具体实物抽象出数学模型，将思维过程可视化、思维程序可操作化，将感性认知升华到理性实践.

关键词：直观想象；探究活动；三视图

2021年2月19日，教育部发布了《关于做好2021年普通高校招生工作的通知》，对2021年高考命题要求作出了明确规定：增强试题开放性、灵活性，减少死记硬背和“机械刷题”现象.在2021年全国高考数学乙卷中，以填空压轴题的形式考查了这样一道题：

如图1，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合求的一组答案即可）.

这道题考查学生的直观想象核心素养，形式新颖，体现了试题的开放性和灵活性，给了我们一线教师一些如何在平时教学活动中培养学生核心素养的启示.受本题启发，结合自己平时教学的积累，在教授完直线与平面的平行和垂直关系之后，设计了一节探究课——“借助长方体模型探究几何体的三视图”，就如何利用探究活动培养学生的核心素养进行探索.“教学过程通过构建空间模型来奠定知识基础，通过积累数学活动经验提供方向方法，将思维过程可视化，思维程序可操作化，将感性操作升华到理性实践.”［1］

1 钻研新课标，接轨新高考

新课标中指出：“直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括利用图形描述数学问题，启迪解决问题的思路，建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知.在数学教学活动中，重视直观想象核心素养的培养，有利于学生养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，有利于学生提升数形结合的能力，有利于学生形成借助图形和空间进行分析、推理、论证的能力.”［2］对比“2003年版课标”和“2017年版课标”发现，新课标删除了三视图的内容，但笔者认为三视图教学在培养学生的空间想象能力方面有重要作用.三视图的教学能充分体现出新课标中这一要求，让学生感知物体的形态与位置的变化所呈现的三视图是不同的.

新课标中对于直观想象核心素养，高考要求达到以下水平：“能够在实际和数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律.能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题.能够通过想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思路.在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题.”［2］上述高考题虽然出现在老高考中，但是，充分体现了新课标中对直观想象核心素养的高考要求：根据实际和数学情境，想象并构建相应的几何图形.而这一素养的培养，需要教师在平时的教学过程中，巧妙设计探究活动环节，通过问题串的形式慢慢引导学生得出结论.

2 巧设问题引思考，几何画板显神通

基于对新课标和教材的理解，笔者将“借助长方体模型探究几何体的三视图”这节课作如下设计，教学环节分成五个部分：复习旧知，提出问题；合作探究，小组展示；老师点评，画板演示；归纳总结，提炼方法；巩固应用，解决问题.具体活动如下.

2.1 复习旧知，提出问题

在本环节，笔者设计了5个问题：

问题1 什么是三视图？什么是正投影？

问题2 如图2所示，长、宽、高分别为a，b，c的长方体ABCD-A1B1C1D1的三视图分别是什么？画三视图的要诀是什么？

问题3 线段的正投影一定是线段吗？

问题4 如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

正投影是线段BC的图形可能是什么？

问题5 如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，正视图是△BB1C1的几何体可能是哪个？

设计意图：问题1是对概念的回顾，追问正投影考查学生对前面教学难点的理解.问题2是结合具体图形考查学生对概念的应用，并提炼规律.问题3是对概念的深化，要求学生考虑到直线与平面位置的不同，正投影不同.问题4具有开放性，要求学生能结合已有的学习经验举出多种情况，深化对正投影概念的理解，为还原直观图形做铺垫.在此基础上，学生至少能说出两种符合问题5条件的几何体（如图3、图4）.五个问题层层递进，引导学生利用线面的位置关系解释正投影中的疑惑，从而加深对线面位置关系的理解，熟练掌握几何体的空间结构，寻找三视图和线面位置关系的内在联系与规律.

学生回答问题5时，教师用几何画板演示（扫码看动画1），并渗透数学文化.在《九章算术·商功》中有关于堑堵、阳马、鳖臑的描述.最后总结：AB，A1B1，D1C1上任意三点连线即可.三视图中的线线垂直，在几何体中可能是线面垂直或面面垂直.为后续的方法提炼作铺垫.

2.2 合作探究，小组展示

本环节为小组探究，笔者设计了三个探究活动.

探究一：观察长方体，任选几个点（顶点或特殊点），可以构成哪些几何体？（笔者将学生分为六个小组：第1，4小组研究4个点；第2，5小组研究5个点；第3，6小组研究6个点.）

第1小组展示，第4小组作补充，总结的类型有2种：（1）上底面选1个点，下底面选3个点；（2）上底面选2个点，下底面选2个点.如图5～10.

第2，5小组总结的类型有以下2种：（1）上底面选1个点，下底面选4个点；（2）上底面选2个点，下底面选3个点.如图11～13.

第3，6小组总结的类型是：上底面选2个点，下底面选4个点.如图14与图15.

探究二：分别作出几何体的三视图，并观察有何规律.

通过第1小组展示的图5、图6、图7中的三棱柱发现，三个几何体的正视图完全一样.第1小组展示的图10与第2小组展示的图13，两个几何体的三视图也完全相同.

探究三：同一组三视图对应的几何体唯一吗？

2.3 教师点评，画板演示

在完成探究一之后，教师结合线面平行、垂直的关系点评.例如：在图5的正视图中，线段A1B1垂直投影面，投影是一个点；平面BA1B1垂直于投影面，投影是一条线段.在图6的正视图中，线段AD1平行于投影面，投影还是一条线段且长度不变；线段AB1斜交投影面，投影是一条线段且长度变短.

在完成探究二之后，学生展示三视图，教师用几何画板演示了图5到图15的动画（篇幅所限这里从略），检验学生的成果.通过拖动关键点，压缩长方体的长、宽、高，从不同的角度观察，得到几何体的三视图，将投影变换的过程可视化，培养学生的空间想象能力.为后面提炼“压缩法”和“提拉法”提供学习经验.

通过第4，5小组举例发现，同一组三视图对应的几何体不唯一.教师用几何画板演示（扫码看动画2-1和2-2），让学生再次感受投影变换的过程，培养学生的空间想象能力.

三个探究活动让学生从熟悉的看得见、摸得着的几何体——长方体入手，建立直观的感知.重视学生的学习经历和经验，强调课程设计必须从学生的角度出发，与学生的经历和经验相联系，确立学生在学习中的主体地位.结合学过的线面的平行、垂直关系发现三视图变化规律，让学生一步一步从具体实物中抽象出数学模型，将感性认知提高到理性认知.

2.4 归纳总结，提炼方法

总结借助长方体画三视图的两种方法.

压缩法：

（1）选择正视的方向，将几何体放在合适的长方体中.

（2）分别压缩到三个投影面，平行于投影面的线段长度不变，垂直于投影面的线段变为点，斜交投影面的线段变短.

（3）看得见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示.

提拉法：

（1）判断几何体形状.

（2）将三视图放入对应投影面.（选择底面）

（3）找出顶点，沿着垂直投影面的方向提拉.

（4）对照三视图检验.

2.5 巩固应用，解决问题