复合函数的奇偶性与单调性探究

摘要：复合函数在高中知识学习中具有非常重要的地位。文章主要通过高三一轮复习中的三角函数等典型简单例题分析，得出函数通过加减乘除以及复合等运算后的新函数可直接判断奇偶性及单调性的规律，方便解不等式及最值等相关问题。

关键词：函数；奇偶性；单调性；复合函数

中图分类号：G633.6""文献标识码：A""文章编号：1673-8918（2024）48-0110-03

一些较复杂的函数求奇偶性以及单调性的问题，需要通过分解成几个已知单调性、奇偶性的函数之间的运算直接得出结论。文章通过简单的举例来得到相关规律，便于学生总结得出复合函数的性质。

一、预备知识

（1）奇函数是指定义域关于原点对称的函数，如果定义域内任意一个自变量x，都有代数式f（x）=-f（-x）成立，那么f（x）叫作奇函数，且如果定义域包括x=0，则有f（0）=0。

（2）偶函数是指定义域关于原点对称的函数，如果定义域内的任意一个自变量x，都有代数式f（x）=f（-x）成立，那么f（x）叫作偶函数。

（3）单调递增函数是指对定义域D内的任意两个数x1gt;x2都有f（x1）gt;f（x2），则称f（x）是在定义域D上的是单调递增函数。

（4）单调递减函数是指对定义域D内的任意两个数x1gt;x2都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是在定义域D上的是单调递减函数。

二、函数的奇偶性

（一）形如F（x）=f（x）±g（x）的奇偶性（默认定义域关于原点对称）

1.讨论F（x）=｜x3｜±cosx的奇偶性（偶函数±偶函数）

分析：由于F（-x）=｜-x3｜+cos（-x）=F（x），根据偶函数的定义可得原式是偶函数。

2.同理讨论F（x）=2x±sinx的奇偶性（奇函数±奇函数）

3.同理讨论F（x）=sinx±sinx2的奇偶性（奇函数±偶函数）

通过以上简单举例可以得出在函数进行加减法的运算中，只有全是偶函数进行加减运算时，才能得到偶函数；只有全是奇函数进行加减运算时，才能得到奇函数；如果出现奇函数偶函数同时出现加减运算时，整体函数将不具备奇偶性，即函数非奇非偶。

（二）形如F（x）=f（x）×g（x）的奇偶性（默认定义域关于原点对称）

1.讨论F（x）=x3sinx的奇偶性（奇函数×奇函数）

分析：F（-x）=（-x）3sin（-x）=F（x），由偶函数的定义可得原式是偶函数。

2.同理讨论F（x）=x2sinx的奇偶性（偶函数×奇函数）

3.同理讨论F（x）=x2sinx2的奇偶性（偶函数×偶函数）

根据以上例题可以发现，当基本初等函数相乘时得到的新函数中，只有是一个奇函数和一个偶函数相乘时其结果是奇函数，其余两种情况两个奇函数相乘或者两个偶函数相乘得到的都是偶函数。

（三）形如F（x）=f（g（x））的奇偶性（默认定义域关于原点对称）

1.讨论F（x）=sinx3（奇（奇））

分析：F（-x）=sin（-x）3=-sinx=-F（x），由奇函数的定义可得原式是奇函数。

2.同理讨论F（x）=sinx2的奇偶性（奇（偶））

3.同理讨论F（x）=cosx3的奇偶性（偶（奇））

4.同理讨论F（x）=cosx2的奇偶性（偶（偶））

同样地，类似上面的形式可拓展到多个基本初等函数复合得到的函数奇偶性。不管偶函数出现的个数，只有内外层函数全都是奇函数复合时，得到的复合函数才是奇函数；只要有一个偶函数出现时，复合的结果就都是偶函数。

三、函数的单调性

（一）形如F（x）=f（x）±g（x）函数加减运算的单调性

例题1已知函数f（x）=3x+tanx，讨论函数f（x）在-π2，π2的单调性。

分析：首先观察定义域，正切函数要求自变量x≠π2+kπ（k∈Z），而题目给出的取值范围下函数具有意义，可以讨论单调性。并且给定区间上函数都随自变量的增大而增大，所以加法运算结果还是增函数，即增函数加增函数是增函数。

变式：已知函数f（x）=3x-tanx，同理讨论函数f（x）在-π2，π2的单调性。

变式：已知函数f（x）=-3x-tanx，讨论函数f（x）在-π2，π2的单调性。

变式：已知函数f（x）=-3x+tanx，讨论函数f（x）在-π2，π2的单调性。

由此上述变式可得，形如F（x）=f（x）±g（x）函数经过加减运算后的单调性，只有所有函数在给定区间上同时单调递增时，才可以下结论整个函数单调递增。同理，所有函数在给定区间上同时单调递减时，才可以下结论整个函数单调递减。如果增减函数同时出现，并不能对函数的增减性直接下结论。

（二）形如F（x）=f（x）×g（x）函数乘法运算的单调性

例题2已知函数f（x）=ex·sinx。求函数f（x）在区间-π2，0上的最值。

解：由于f′（x）=ex（sinx+cosx），令f′（x）gt;0，即sinx+cosxgt;0，x∈-π4，0。

令f′（x）lt;0，即sinx+cosxlt;0，x∈-π2，-π4，∴f（x）在-π2，-π4单调递减，

f（x）在-π4，0单调递增，∴f（x）min=f-π4=-22e-π4，f（0）=0，f-π2=-e-π2，∴f（x）max=0。

由此可见，形如F（x）=f（x）×g（x）复合函数的单调性与f（x），g（x）原本的单调性无关。注意不能用同增异减去判断。这里也特别注意函数乘除法的运算与复合函数的区别。

（三）形如F（x）=f（g（x））复合函数的单调性

例题3函数f（x）=log2（-x2+ax-6）（agt;0，a≠1）的单调减区间是"""。

分析：由于f（x）=log2（-x2+ax-6）（agt;0，a≠1），令t=-x2+ax-6，真数满足是正数，则令tgt;0时，得x∈（1，6）。再由于外层函数是对数函数，底大于一，所以外层函数是单调递增函数。想保证复合之后的函数是单调递减的，保证内函数单调递减就可以。又由于t=-x2+ax-6是一个二次函数，单调性在对称轴处发生变化，可解出对称轴是x=72，

且一元二次函数是开口朝下的抛物线，在x∈1，72时单调递增，在x∈72，6时单调递减。

综合内外层函数，同增异减的原则，f（x）在x∈72，6时单调递减。

例题4已知f（x）=4sinx+π2sinx+π3-3，求函数f（x）的单调递减区间。

解：f（x）=4sinx+π2sinx+π3-3=4cosxsinx+π3-3

=4cosxsinxcosπ3+cosxsinπ3-3=2sinxcosx+23cos2x-3=sin2x+3（cos2x+1）-3=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3

令t=2x+π3而t关于x是单增的，

要求f（t）=2sint是单减的，则t属于正弦函数的递减区间，

有2kπ+π2≤t≤2kπ+3π2即2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，

则函数f（x）的单调递减区间为：kπ+π12，kπ+7π12。

例题5函数y=sinπ4-2x的单调增区间是"""。

解：函数y=sinπ4-2x，令t=-2x+π4而t关于x是单减的，

要求y（t）单增，则t属于正弦函数的递减区间，

即π2+2kπ≤2x-π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ，k∈Z，所以函数y=sinπ4-2x的增区间是kπ+38π，kπ+78π（k∈Z），

故答案为：kπ+38π，kπ+78π（k∈Z）。

（四）形如F（x）=f（x）g（x）复合函数的单调性

例题6已知函数f（x）=xlnx，若关于x的方程［f（x）］2+af（x）+a-1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是"""。

解：因为f（x）=xlnx，则f′（x）=lnx-1（lnx）2，

当0lt;xlt;1或1lt;xlt;e时，f′（x）lt;0，当xgt;e时，f′（x）gt;0，

所以f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，

且当x→0时，f（x）→0，f（e）=e，故f（x）的大致图像如图1所示：

关于x的方程［f（x）］2+af（x）+a-1=0等价于［f（x）+1］［f（x）+a-1］=0，

即f（x）=-1或f（x）=1-a，

由图可得，方程f（x）=-1有且仅有一解，则f（x）=1-a有两解，所以1-agt;e，解得alt;1-e。

分式函数在探讨单调性时，首先要关注定义域，分母为零的自变量要排除在外。不能只看某个区间上的导函数的正负号，还要结合定义域将区间进行分段讨论，并且图像也要分段画。

四、结论

文章通过将已知性质的简单函数进行加减乘除以及复合运算，得到了以下有用的结论。函数进行加减运算时，只有全是偶函数加减才能得到偶函数，只有全是奇函数加减才能得到奇函数。如果出现奇函数偶函数混合做加减运算时，整体函数非奇非偶。当多个函数相乘时，奇数个奇函数相乘得到奇函数，偶数个奇函数乘积得到偶函数。多个函数复合后的奇偶性，只有内外层函数都是奇函数才是奇函数，只要有一个偶函数出现时复合的结果就都是偶函数。只有所有函数在给定区间上同时单调递增时加减运算后，才可以保持单调递增。同理，所有函数在给定区间上同时单调递减时，加减运算后才可以下结论整个函数单调递减。如果给定区间上增减函数同时出现，进行加减运算是不能对结果的增减性直接下结论。复合函数的单调性满足同增异减的规则。

参考文献：

［1］刘银.“函数的奇偶性”教学设计［J］.中学数学：高中版，2022（3）：20-21，63.

［2］徐广，李敏.浅论函数奇偶性的判断方法［J］.上海中学数学，2022（9）：42-43.

［3］江妙浩.以《函数的奇偶性》为例探析高中数学概念课教学［J］.广西教育，2022（2）：135-137.

［4］田发胜.应用函数的奇偶性、单调性解题举例［J］.中学生数理化：高一使用，2022（10）：6.

作者简介：张静恩（1996～），女，汉族，河南濮阳人，珠海市第一中学平沙校区，研究方向：高中数学教学。