小学第三学段学生数学模型意识的培养路径研究

摘"要：模型意识是小学数学课程中需要落实的核心素养。培养学生的模型意识，就是使学生在数学观察、数学思考的基础上，会用数学的语言表达现实世界，沟通数学与现实世界之间的联系，构建数学模型，使学生体会数学的价值，增强学生的应用意识。学生模型意识的形成贯穿于学生的整个数学学习过程。文章基于第三学段学生模型意识的现状分析，认为教学中应立足整体，着眼于知识内容，着眼于学生的学习过程与学生发展，通过整体建构、经历过程、模型应用来培养学生的模型意识，促进学生的数学发展。

关键词：小学第三学段；模型意识；实践研究

中图分类号：G623.5"""文献标识码：A"""文章编号：1673-8918（2024）46-0109-03

作者简介：冯娜（1977～），女，汉族，陕西安康人，汉滨区果园小学，研究方向：小学数学。

模型意识是小学数学核心素养的主要表现之一。培养学生的模型意识，就是使学生在数学观察，数学思考的基础上，会用数学的语言表达现实世界，沟通数学与现实世界之间的内在联系，使学生体会数学的价值，增强学生的应用意识，促进学生数学核心素养的发展。学生模型意识的形成贯穿于学生的整个数学学习过程。下面结合教学实践，谈谈对小学第三学段学生数学模型意识的培养的理解，以及基于学生现状培养学生模型意识的策略。

一、模型意识的内涵与价值

意识“是一种基于经验的感悟”，模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。所谓“数学模型”是指用数学的语言（字母、式子、图表等）概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种结构。简单地说，数学中的概念、法则、关系、规律、方法等均可视为数学模型。数学模型为数学表达和交流提供了有效途径，为解决现实问题提供了重要工具。与“数学模型”密切相关的是“数学建模”。“数学建模”是指从实际问题中抽象出数学模型，求解并验证模型的合理性，运用模型解释现象或解决问题。数学建模也是运用数学知识解决问题的一种方式，是数学知识的具体运用。可以这样认为，数学模型是一种数学表达和结构，是数学建模的结果；而数学建模则是建立、应用数学模型的过程。概括而言，模型意识的内涵包括作为过程的数学建模和作为结构的数学模型，模型意识的培养体现在建构数学模型及应用数学模型之中。

第三学段学生数学模型意识的培养，是要学生能从现实生活的一些现象中发现数学问题，在解决数学问题的过程中生成一般的数学模型，并将模型用于解决一类问题，感悟数学模型不只表示一种现实或只解决一个问题，而是可以表示一些具有共同本质的现实或解决一类问题，即感悟数学模型的普适性。培养学生的模型意识，将整体提升学生数学观察、数学思考与数学表达的水平，促进学生数学核心素养的发展。

二、小学第三学段学生数学模型意识的现状分析

从学生的认知特点和思维发展水平来看，小学第三学段学生已具有一定的抽象逻辑思维能力，且经过前两个阶段的学习，已经获得了一定的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，能够运用数学的概念和方法解决一些简单的生活实际问题。但教学中发现，当面对具体的现实情境时，部分学生不能摒弃无关元素从中抽取出关键信息，发现其背后隐藏的数学模型；在分析、解决问题时不能在现实情境和数学模型之间建立起一一对应关系；不能发现不同外在表象的问题本质上的一致性，缺少解决一类问题的能力。可以看出，学生在面对具体情境时，缺少透过现象看本质，用数学的语言揭示规律，在数学与现实之间建立起联系的意识和能力。

学生在数学学习中需要经历观察、思考、猜想、验证、推理等，建立数学概念与方法，并运用所得结论解释说明或解决实际问题的过程。这一过程也正是学生构建数学模型、应用数学模型的过程。根据第三学段学生的认知规律及知识特点，教学中应立足整体，着眼于知识内容，着眼于学生的学习过程与学生发展来培养学生的模型意识。

三、小学第三学段学生数学模型意识的培养的策略

（一）整体建构，培养学生的模型意识

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，“不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联”，要“整体把握教学内容”“重视对数学内容的整体分析”。整体构建，即站在整体的层面抓住数学知识的内在逻辑联系及知识内容与学生核心素养发展之间的关联，整体建构知识架构，形成结构化的认知结构，促进学生数学建模，培养学生的模型意识。

小学阶段数学课程内容包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个知识领域，下设七大主题。从第一学段到第三学段，各领域知识呈螺旋上升的趋势分阶段编排。为了准确把握第三学段学生数学模型意识的培养，教学中，首先要树立整体观，从整体层面对各领域知识内容及相应的核心素养目标进行分析和把握，引导学生把握好知识主线，厘清知识脉络。其次，要善于突破原有自然单元、年级甚至学段的限制，从更为广泛的角度，将零散的、碎片化的数学知识建立起整体化、系统化、逻辑化的结构体系，将不同学段的知识内容、思想、方法进行关联，分析其本质的一致性，使学生在不同知识结点的学习中，能够进行关联，从整体上建构知识结构，建立数学模型，获得数学思想方法，促进学生的数学发展。

（二）经历过程，培养学生的模型意识

学生获取知识的过程是一个主动探究、自主构建的过程，也是知识的再发现和再创造的过程。学生从具体情境中抽象出数学事实，这一过程既涉及数学抽象过程，也常蕴含着数学建模活动。可见，使学生经历数学化的过程，是学生构建数学模型，形成模型意识的必要前提。根据第三学段学生的认知特点，注意突出以下几方面：

1.依托真实情境，生发数学模型

新课标指出“应注重创设真实情境”，重视在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题或者引导学生提出合理问题。教学中应关注数学概念、方法、规律等产生的现实背景，挖掘贴近学生生活经验、符合学生年龄特征和认知特点的素材，将数学模型隐含于情境中，使学生在对真实情境的逐层分析中逐渐生发出数学模型。

2.多元表征，促进数学建模

引导学生从真实情境中抽取出关键信息，并借助动手操作、实验、演示、猜想、验证等，通过图（线段图、长方形图等）、式（等量关系式或用其他数学符号建立的式子）、图表等方式多元表征，挖掘数学本质，揭示数学规律与方法，形成数学的概念、公式、法则、关系等，促进学生模型意识的形成。

3.巩固内化，深化模型理解

在学生揭示数学规律，建立数学模型的基础上，引导学生运用模型分析解决问题、解释现象，进一步深化模型理解，感悟模型的普适性，提高学生分析、解决问题的能力。以圆柱体积为例，在探究出圆柱体积计算公式的基础上，引导学生运用公式模型解决不同情境的实际问题，如求圆柱形木料的体积、杯子的容积、钢管的体积等，使学生掌握圆柱体积的计算方法，感悟体积公式模型的普适性，很好地激发了学生的数学学习兴趣。

（三）深挖知识本质，培养学生的模型意识

数学模型反映的是数量关系和空间形式最本质的东西。深挖数学本质，有助于学生透过“森林”看到“树木”，由“一棵树”看到“一片森林”，促进学生模型意识的形成。教学中，应引导学生对现实情境进行抽象概括，在观察、思考、猜想、验证、比较、推理等数学活动中发现内在规律，构建数学模型。

例如，第三学段“图形与几何”领域，抓住“图形的认识与测量”主题中“计量单位”的一致性，引导学生体验、感悟、抽象并提炼隐藏在具体知识背后更上位的概念，理解“图形与几何”领域原理的一致性及面积、体积计算公式背后的道理。长方形面积是用“长×宽”求包含多少个面积单位，长方体体积是用“长×宽×高”求包含多少个体积单位，由此沟通了面积、体积计算与长度测量的内在一致性。引导学生抓住求面积与求体积的数学本质，并以长方形面积和长方体体积为基础，构建其他平面图形的面积公式模型和立体图形的体积公式模型，使学生深入理解模型含义，有利于后续学习及数学素养的提升。

（四）模型应用，培养学生的模型意识

新课标指出，模型意识的主要表现是“知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径”，能“有意识地用数学的概念与方法予以解释”；并指出运用数学知识解决问题，应适当体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程，有效帮助学生理解知识与方法，促进学生模型意识的形成。

1.经历“现实原型——数学模型——解释应用”的过程，在分析思考中发现规律，建构模型

教师从生活原型中发现、提出数学问题，用数学语言进行表达，建立模型并应用；在此基础上，创设新问题，引发学生的认知冲突。通过新旧问题比较，发现内在本质的一致性，继而通过知识迁移或重组，在旧模的基础上构建新模解决问题。在模型应用中，学生经历了一个相对完整、循序渐进、螺旋上升的数学学习过程。学生的认知在“平衡—不平衡—平衡”中得到重构和丰富，模型意识在“建模—用模—再建模—再用模”中得到进一步发展，使学生体会到模型的价值，增强了学生的应用意识，促进了学生的数学发展。

2.设置典型问题，沟通模型深化理解

典型问题即具有一定代表性的问题。教材中设计的许多问题都具有一定的典型性，教学中要抓住典型问题，使学生通过对典型问题的剖析，发现问题的本质，从而构建普适的数学模型。以典型问题为基点，通过改变条件、问题或情境，设置多种不同问题，通过对这些问题的分析、比较，发现其内在本质的一致性，以点带面，促进一类问题的数学模型的建立，沟通模型联系，深化模型理解。

例如，第三学段求不规则物体的体积，创设求土豆体积的问题情境，学生在观察、实验与思考中初步得出，求土豆的体积可转化为求上升的那部分水的体积（把土豆放入有水的容器中），或下降的那部分水的体积（把土豆从有水的容器中取出），或溢出的水的体积（把土豆放入装满水的容器中），在转化中体会等积变形，从而构建出求不规则物体体积的数学模型。运用这一数学模型能够解决更多的实际问题，如求饮料瓶容积的问题，将圆锥形沙堆铺在马路上求能铺多长的问题等，实现从一种情境到一类情境，从一个问题到“一类问题”的进阶。

通过典型问题的引领，学生经历了由“一个”到“多样”再到统一，由特殊到一般的解决问题的过程，实现了由解决一个问题到解决一类问题的突破，使学生构建数学模型，把握一类问题的本质，并看到模型背后不同的数学故事，体会数学模型的普遍性和概括性，促进了学生的数学发展。

四、结论

总之，学生模型意识的形成是一个长期的、循序渐进的过程。它是隐性的，却又是有迹可循的。围绕第三学段知识内容的学习，教师应立足于学生实际，把握好培养学生模型意识的切入点和落脚点，有序进行和润物细无声的渗透，使学生模型意识的培养落到实处，有效促进学生数学核心素养的发展。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］孙晓天，张丹.义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读.小学数学［M］.北京：教育科学出版社，2022.

［3］史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：39.