多维探究凸显能力 有效提升运算素养

摘 要：文章剖析上海市2022年春季高考数学第20题的解析几何试题，重点剖析第（3）问，从多角度分析试题，浅谈如何有效提升数学运算素养，并给出复习解析几何的一些教学建议与思考.

关键词：春考数学；解析几何；数学运算；核心素养

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0079-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：范广哲（1989.11—），男，山东省兖州人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

2022年是上海高考数学使用旧版教材的最后一年，其命题方向和试卷结构特点备受关注.2022年上海春季高考数学试卷整体结构稳定，层次分明，注重创新，有利于考查学生的综合能力和数学素养.作者剖析上海市2022年春季高考数学第20题，此题为次压轴题.重点剖析第（3）问，从多角度分析试题，浅谈如何有效提升数学运算素养，最后给出高三复习解析几何的一些教学建议与思考.

1 试题呈现

题目 （2022年上海市春考数学第20题）椭圆Γ：x2a2+y2=1（agt;1），A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x=a上有两个不相同的点C，D（C是第一象限的点）.

（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π6，求椭圆Γ的标准方程；

（2）若C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；

（3）设直线AD与直线BC交椭圆Γ于P，Q两点，且P，Q关于原点对称，求|CD|的最小值.

2 试题分析

2.1 第（1）问分析

由于∠AFB=π6，OB=1，因而OF=c=3，可得a=（3）2+1=2.

椭圆Γ的标准方程为x24+y2=1.

2.2 第（2）问分析

由题意可知A（-a，0），B（0，-1），C（a，2），D（a，1），直线AD的方程：y=12ax+12，

直线BC的方程：y=3ax-1.

联立y=12ax+12，y=3ax-1，解得x=35a，y=45.

代入可得（3a/5）2a2+（45）2=1.

因而直线BC与AD的交点在椭圆Γ上.

评析 第（1）问考查待定系数法求椭圆的标准方程；第（2）问是一道探究类试题，考查了《中国高考评价体系》中要求的逻辑思维与运算求解等关键能力[1]；第（3）问对数学运算能力要求较高，逻辑推理比较复杂，具有很好的区分度和选拔功能，也考查学生分析问题、解决问题和综合思维能力.

2.3 第（3）问分析

视角1 利用题目中条件的对称关系寻找目标两点的坐标关系.

设C（a，m），D（a，n），其中mgt;0，即求|m-n|的最小值．

由题可设，直线AD方程为y=n2a（x+a），直线BC方程为y=m+1ax-1，

设AD与椭圆的交点为P，联立方程组x2a2+y2=1，y=n2a（x+a），可得

x2a2+n24a2（x+a）2=1.

整理，得（1a2+n24a2）x2+n22ax+n24-1=0.

由韦达定理，得-a·xP=（n2/4）-11/a2+n2/（4a2）=a2n2-4a24+n2.

则xP=4a-an24+n2.

设BC与椭圆交点为Q，同理可得

xQ=2a（m+1）m2+2m+2.

由于P，Q关于原点对称，因而

4a-an24+n2+2a（m+1）m2+2m+2=0.

故可得82n2=m2（m+2）2.

解得±2n=mm+2．

由于点Q在第一象限，则有点P在第三象限，因而nlt;0，进一步得-2n=m+2m，解得n=-2m+4m.

故m-n=m+2m+4m=m+4m+2≥6，当且仅当m=2时等号成立，此时n=-4.

综上，|CD|的最小值为6.

视角2 同一量表示目标点的坐标，进而用函数方法求最值.

设直线AD：x+my+a=0与椭圆交于点P，联立方程组x2a2+y2=1，x+my+a=0，整理，得（m2a2+1）y2+2may=0，解得yP=-2mam2+a2，xP=a（m2-a2）a2+m2.

在x+my+a=0中，令x=a，得D（a，-2am）.

由于点P在第三象限，则agt;mgt;0.设直线BC为y=kx-1，与椭圆交于点Q，同理可得，C（a，ka-1）.

由于点Q在第一象限，则kgt;1a.由于P，Q关于原点对称，得a（m2-a2）m2+a2=-2a2k1+a2k2，即m2-a2m2+a2=-2ak1+a2k2，整理可得2a22m2=（1+ak）2（1-ak）2，因而1+ak1-ak=-am.

进一步可得CD=ka-1-（-2am）=ak-1+4ak-1+2≥6，当且仅当ak-1=2时等号成立，即

k=-3a时取等号.

综上，|CD|的最小值为6.

视角3 利用椭圆参数方程求最值，此方法运算较为简洁.

由题意可知，A（-a，0），B（0，-1），设P（acosθ，sinθ），Q（-acosθ，-sinθ），

直线BP：y=sinθ+1acosθx-1，可得C（a，sinθ+1cosθ-1）.

直线AQ：y=sinθacosθ-a（x+a），可得D（a，2sinθcosθ-1）.

因而|CD|=sinθ+1cosθ-1-2sinθcosθ-1.

令tanθ2=t，则

|CD|=1+2t/（1+t2）（1-t2）/（1+t2）+2［1+（1-t2）/（1+t2）］2t/（1+t2）-1

=［（1-t）+t］（21-t+2t）-2

=2+2（1-t）t+2t1-t≥6，

当且仅当t=12时等号成立，

综上，|CD|的最小值为6.

视角4 设某点的未知量，以此出发，求解另一点的坐标，进而求解.

设点C（a，t），tgt;0，直线BC的方程为y=t+1ax-1.

联立方程组x2a2+y2=1，y=t+1ax-1，整理，得

（t2+2t+2）x2-2a（t+1）x=0.

解得xP=2a（t+1）t2+2t+2，

代入直线BC，得yP=t（t+2）t2+2t+2.

则Q（-2a（t+1）t2+2t+2，-t（t+2）t2+2t+2）.

因而直线AD的方程为

y=-t（t+2）/（t2+2t+2）-0-2a（t+1）/（t2+2t+2）-（-a）（x+a）.

现令x=a，则yD=-4t-2.

故|CD|=|t-（-4t-2）|=t+4t+2≥6，当且仅当t=2时等号成立.

综上，|CD|的最小值为6．

3 教学建议与思考

3.1 把握问题本质

解析几何的本质是运用代数的方法研究几何图形的性质.高三数学教师在平时的解析几何教学中，一方面要让学生掌握代数与几何的双重特征，有效寻找到解题的突破口；另一方面，要让学生重视基础知识，掌握解题的通性通法，揭示问题的本质，领悟数学的思想方法.教师要帮助学生意识到算与思之间的关系，引导学生算思结合，规划最优的解题方案，把握数学试题的本质.

3.2 发展运算素养

运算能力是数学学习过程中最基本和最重要的能力之一.解析几何试题对数学运算能力要求较高，这要求教师需强化学生运算能力的培养.教师要让学生明确运算所需的基本概念和基本方法，同时在课堂教学过程中要注重示范运算过程，研究典型试题的解法，分析比较不同解法的优劣，让学生能够选择适合自己的解题方法，发展数学运算素养.

3.3 把握命题规律

作为数学教师，要积极钻研高考真题，总结命题规律和特点，明晰命题方向和脉络，特别是在高三复习的后半程，不能过分挖掘偏难怪的试题，要注重训练基本方法.教师要对历年高考试题进行整体研究，总结其共性；对新旧高考试题进行对比研究，寻找其变化的规律特点；对不同章节试题进行分类研究，探索其差别与趋势.对于高考命题来说，稳定是永恒的主题，微调是不变的旋律，研究是应对的法宝，教学是坚强的保障.作为教师，要一直保持研究的心态，才能应对新课标新高考带来的机遇与挑战.

参考文献：

［1］

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［责任编辑：李 璟］