关于2024年新课标高考Ⅰ卷第16题探究与思考

摘 要：文章从2024年新课标高考Ⅰ卷第16题解析几何入手延伸思考，深层次挖掘试题背后的背景与意义，从而更好地帮助高三学生突破解析几何问题.

关键词：试题分析；数学思想；数学思维

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0040-04

2024年高考数学既有对知识的考查，又注重知识迁移和能力考查，特别突出对数学素养的考查.本文从2024年新课标高考Ⅰ卷第16题解析几何的背景、目标、意义进行挖掘，希望对高三学生学习

解析几何有一定的指导意义.1 挖掘原题，透过现象看本质

1.1 题目呈现

题目 （2024年新课标Ⅰ卷第16题） 已知

A（0，3）和P（3，32）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上两点.

（1）求C的离心率;

（2）若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．

1.2 题意分析

本题是综合性题目，属于数学运算学习与数学推理学习情境.本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质及标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式（两点距离公式），点到直线距离公式.

本题考查了逻辑推理能力和数学运算能力.通过将三角形面积问题转化为两条平行线间的距离问题，感受数形结合思想的价值.通过推理论证，发现应该先求点B的坐标，再求直线l的方程.

调整运算方向，考查数学运算.

2 破解题目，多角度分析，多维度理解

2.1 第（1）问解析

第（1）问很常规，也非常简单.已知椭圆标准方程形式及两个点的坐标，利用待定系数法，列两个方程求椭圆的这两个未知数，进而求椭圆的半焦距，最终求出椭圆的离心率.灵活处理的突破点在于观察几何对象的特征，理解点A是椭圆的上顶点，可以适当简便运算.

解析 由题意得b=3，9a2+9/4b2=1，

解得b2=9，a2=12.

所以e=1-b2a2=1-912=12.

2.2 第（2）问解析

思路1 以|AP|为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点B坐标，则得到直线l的方程.

思路2 同思路1得到点B到直线AP的距离，再设B（x0，y0），根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可.

思路3 同思路1得到点B到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解.

思路4 首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线y=kx+3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可.

思路5 首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设PB：y-32=k（x-3），利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案.

思路6 设线法与思路5一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.

解法1 由题知，kAP=3-3/20-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3.

即x+2y-6=0.

所以|AP|=（0-3）2+（3-32）2=352.

由（1）知C：x212+y29=1.

设点B到直线AP的距离为d，则

d=2×935/2=1255［1］.

将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B.设该平行线的方程为x+2y+C=0，则|C+6|5=1255，解得C=6或C=-18.

当C=6时，联立x212+y29=1，x+2y+6=0，

解得x=0，y=-3或x=-3，y=-32.

即B（0，-3）或（-3，-32）.

当B（0，-3）时，此时kl=32，直线l的方程为

y=32x-3，即3x-2y-6=0;

当B（-3，-32）时，此时kl=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0.

当C=-18时，联立x212+y29=1，x+2y-18=0，得

2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207lt;0，此时该直线与椭圆无交点.

综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法2 同解法1得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=1255.

设B（x0，y0），则|x0+2y0-6|5=1255，x2012+y209=1，

解得x0=-3，y0=-32或x0=0，y0=-3.

即B（0，-3）或（-3，-32），以下同解法1.

解法3 同解法1得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=1255.

设B（23cosθ，3sinθ），其中θ∈［0，2π），则有

|23cosθ+6sinθ-6|5=1255.

联立cos2θ+sin2θ=1，

解得cosθ=-32，sinθ=-12或cosθ=0，sinθ=-1.

即B（0，-3）或（-3，-32），以下同解法1.

解法4 当直线AB的斜率不存在时，此时B（0，-3），S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时

kl=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为

y=kx+3，与椭圆方程联立有y=kx+3，x212+y29=1， 则

（4k2+3）x2+24kx=0，

其中k≠kAP，即k≠-12，

解得x=0或x=-24k4k2+3，k≠0，k≠-12.

令x=-24k4k2+3，则y=-12k2+94k2+3.

则B（-24k4k2+3，-12k2+94k2+3）.

同解法1得到直线AP的方程为x+2y-6=0，

点B到直线AP的距离d=1255，

则

|-24k/（4k2+3）+2（9-12k2）/（4k2+3）-6|5

=1255，

解得k=32，

此时B（-3，-32），则得到kl=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0［2］.

综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法5 当直线l的斜率不存在时，l：x=3，B（3，-32），|PB|=3，点A到直线PB的距离d=3，

此时S△ABP=12×3×3=92≠9，不满足条件.

当l的斜率存在时，设PB：y-32=k（x-3），则

y=k（x-3）+32，x212+y29=1，

消y，得（4k2+3）x2-（24k2-12k）x+36k2-36k-27=0，

Δ=（24k2-12k）2-4（4k2+3）（36k2-36k-27）gt;0，且k≠kAP，即k≠-12.

令P（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=24k2-12k4k2+3，x1x2=36k2-36k-274k2+3，

|PB|=k2+1·（x1+x2）2-4x1x2

=43·k2+1·3k2+9k+27/44k2+3，

点A到直线PB距离d=|3k+3/2|k2+1，

S△PAB=12·43·k2+1·3k2+9k+27/44k2+3·|3k+3/2|k2+1=9，

所以k=12或32，均满足题意.

所以l：y=12x或y=32x-3.

即3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法6 当直线l的斜率不存在时，l：x=3，B（3，-32），|PB|=3，点A到直线PB的距离d=3，此时S△ABP=12×3×3=92≠9，不满足条件.

当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-3）+32，设l与y轴的交点为Q，令x=0，则Q（0，-3k+32）.

联立y=kx-3k+32，3x2+4y2=36， 则有

（3+4k2）x2-8k（3k-32）x+36k2-36k-27=0，

其中Δ=8k2（3k-32）2-4（3+4k2）（36k2-36k-27）gt;0，且k≠-12，

则3xB=36k2-36k-273+4k2，即xB=12k2-12k-93+4k2.

则S=12|AQ|·|xP-xB|

=12|3k+32|·|12k+183+4k2|=9，

解得k=12或k=32.

经代入判别式验证均满足题意.

则直线l为y=12x或y=32x-3.

即3x-2y-6=0或x-2y=0.

3 追本溯源，回归教材，类比高考

本题对教学有很好的导向作用——回归基础，回归课本.高考反“套路”反“刷题”，平时教学一定要扎实地从简单到复杂、从单一到综合组织内容，给学生提供归纳、概括的机会.

3.1 本题对标教材

（人教版高中选择性必修第一册第114页例7）已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：

x225+y29=1.m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？

3.2 本题对标相同理念高考题

题1 （2023年新高考全国Ⅱ卷第5题）已知椭圆C：x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则m=（" ）．

A．23 B．23 C．-23 D．-23

题2 （2020年新高考全国Ⅱ

卷第21题）已知函数f（x）=x3-x2+ax+1．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）求曲线y=f（x）过坐标原点的切线与曲线

y=f（x）的公共点的坐标．

题3 （2019年新高考全国Ⅲ卷理第21题）已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

3.3 探究价值，启发教学

解析几何是用代数方法解决几何问题，但本质还是几何问题.深刻理解常见平面图形（三角形，平行四边形，梯形，圆形）的几何性质，合理优化运算方向，以简便运算.在本题的启发和引导下，应注意以下五个原则：（1）通性通法不等同于解题“套路”“步骤”，要避免机械刷题；（2）观察题目中几何条件的“不变量”是优化运算的突破口；

（3）利用特殊位置、极端位置突破几何问题；

（4）夯实平面几何图形基础，切忌盲目背诵二级结论；

（5）加强运算能力的教学和培养.

4 结束语

高考趋势就是回归基础，回归数学不变性，反“套路”，反“刷题”.首先，在解析几何问题中要夯实平面几何图形基础，训练以几何眼光解决几何问题的能力，切忌盲目背诵二级结论.比如本题的解法4和解法5都是从三角形面积关系中发现解题的突破口，而没有应用二级结论.其次，解析几何在解答题位置的改变，也意味着任何板块的知识都需要重视基础性.最后，问题的答案不是目的，解决问题的过程才是目的.解决问题过程中如何把复杂问题转化或化归成简单问题，才是训练数学思维的目的.

参考文献：

［1］ 何正文．对一道关于三角函数高考题的教学思考与延伸[J]．数理化解题研究，2020（03）：29-30．

[2] 何正文.基于核心素养的多阶数学思维的培养[J].中学数学杂志，2019（01）：14-16.

［责任编辑：李 璟］