提升高中生数学运算素养的策略

摘 要：文章探讨了“一题多解”策略在提升高中生数学运算素养中的应用.通过分析高中生在数学运算素养方面的常见问题，提出了“一题多解”的教学方法，并通过实例展示了该策略在理解运算对象、探究运算思路和选择运算方法等方面的有效性.

关键词：一题多解；数学运算素养；解题策略；综合思维能力

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0061-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：焦士杰（1989.9—），男，湖北省钟祥人，硕士，中级教师，从事高中数学教学研究.

在数学教育领域，运算素养是衡量学生数学能力的重要指标.然而，当前高中生在数学运算素养方面存在诸多挑战.本文旨在通过“一题多解”策略，探讨如何有效提升高中生的数学运算素养.

1 高中数学运算素养的内涵

高中数学运算素养是学生应具备的重要能力，主要表现在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.这包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序以及求得运算结果等能力[1].高中数学运算素养的核心在于通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，养成严谨求实的科学精神.

2 高中生在数学运算素养方面存在的问题

2.1 理解深度不足

学生可能对数学概念和运算对象的理解不够深入，导致容易出现一些低级错误.例如，我们常见的错误题型：［（-3）2］32=-27，AB+BC+CA=0，函数f（x）=2x与g（m）=2m是两个不同的函数，出现这些错误的根本原因是学生对指数的运算法则、向量的概念和函数的概念理解不透彻.深入理解数学概念和运算对象对于打牢基础至关重要，要求学生掌握基本运算技能，并将这些技能正确应用于数学思维和问题解决中.

2.2 思维定式

学生可能习惯于使用固定的解题模式，难以跳出传统思维框架尝试新的解题方法.例如，考虑一个方程解的个数问题，学生可能已经学会了如何计算代数式的值，但要求他们判断方程解的个数时，他们可能会出现误判.假设有一个方程lgx=1x，要求学生判断这个方程解的个数.如果他们按照以往解方程的思路，可能只会通过特殊值法检验，这几乎不太可能做出来.然而，如果学生转换思路，将判断方程组解的个数转化为求函数的交点问题，他们就能轻松地解决问题.教师通过教授和鼓励学生使用多种解题方法，可以帮助他们跳出传统思维框架，培养他们的创新思维和问题解决能力.

2.3 缺乏运算技巧

部分学生可能没有掌握足够的运算技巧，导致在面对需要灵活运用数学知识的问题时感到困难.比如，在计算分式函数的最值问题时，如果学生掌握不好“分离”这个技巧，他们可能束手无策.如题，已知xgt;1，求x2+3x-1的最小值.如果学生将分子和分母分别看作函数，可能只会尝试通过试错法来寻找最小值，这不仅效率低下，而且容易出错.然而，如果学生能够掌握分离的技巧，他们就能更系统地解决问题.例如，他们可以观察到分式可以分解为x-1+2+4x-1，应用均值定理可得到最小值为2+2（x-1）·4x-1=6.

3 提升高中生数学运算素养的策略

“一题多解”是数学学习中非常有效的教学方法，它帮助学生深入理解数学问题本质，培养数学运算素养.本文从理解运算对象、探究运算思路、选择运算方法三个方面，探讨了“一题多解”对提升高中生数学运算素养的作用.

3.1 理解运算对象

理解运算对象是通过“一题多解”深入学习数学运算对象的有效方法，它帮助学生从不同角度理解同一数学问题，加深对运算对象的理解和应用.通过比较不同解法，深入理解运算对象的性质、特点和规律.

例1 函数f（x）=log2（x-4）的反函数为y=f -1（x），则f -1（3）=.

分析 本题是反函数求函数值类问题，常规思路就是求出反函数的解析式，代值求解.我们能否深入理解一下反函数的定义和性质，将反函数的函数值转化为原函数的自变量，或者

利用点的对称性将其看作点的坐标值呢？

解法1 由y=log2（x-4）可得x-4=2y，所以y=f -1（x）=4+2x，则f -1（3）=4+23=12.

解法2 在y=log2（x-4）中，令y=3，可得3=log2（x-4），即x-4=8，即x=12，则f -1（3）=12.

解法3 令f -1（3）=m，则反函数y=f -1（x）经过点（3，m）.根据反函数的性质可知，原函数f（x）=log2（x-4）经过点（m，3），故3=log2（m-4），解得m=12，则f -1（3）=12.

通过“一题多解”的实践，学生能够深化对反函数定义和性质的理解，并掌握多样化的求解技巧.这种方法使学生得以从不同视角审视问题，领悟数学概念的对称性之美.“一题多解”不仅丰富了学生的解题手段，也促进了思维的广度与深度，从而有效提升了数学运算素养.

3.2 探究运算思路

“一题多解”还有助于学生探究运算思路，拓宽思路，发现新的数学规律和特点，提高解题灵活性和应变能力.面对复杂运算问题时，通过“一题多解”训练，学生能迅速找到合适的解题思路，提高解题效率和质量.

例2 如图1所示，已知直线l与椭圆C：x23+y22=1在第一象限交于P，Q两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，则l的斜率为.

分析 本题是一道直线和椭圆相交的综合性问题，常规思路就是将直线和圆的方程联立，利用韦达定理，代入已知等式求解.但直接代入求解计算量是比较大的，我们能否拓展一下思路，对已知等式进行变形处理或者利用平面几何角度解题？

解法1 由题意可设直线l的方程为y=kx+b（klt;0，bgt;0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立得y=kx+bx23+y22=1，消y整理，得

（3k2+2）x2+6kbx+3b2-6=0.

满足Δ=（6kb）2-4（3k2+2）（3b2-6）=24（3k2-b2+2）gt;0，

由韦达定理，得x1+x2=-6kb3k2+2，x1x2=3b2-63k2+2.

所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=4b3k2+2，

y1y2=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=2b2-6k23k2+2，

则|PM||QM|+|QM||PM|=y1y2+y2y1

=（y1+y2）2-2y1y2y1y2

=［4b/（3k2+2）］2-2×（2b2-6k2）/（3k2+2）（2b2-6k2）/（3k2+2）

=4b2-6k2b2+18k4+12k2（3k2+2）（b2-3k2），

|PN||QN|+|QN||PN|=x1x2+x2x1

=（x1+x2）2-2x1x2x1x2

=［-6kb/（3k2+2）］2-2×（3b2-6）/（3k2+2）（3b2-6）/（3k2+2）

=-4b2+6k2b2+8+12k2（3k2+2）（b2-2）.

因为|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，

所以

4b2-6k2b2+18k4+12k2（3k2+2）（b2-3k2）=-4b2+6k2b2+8+12k2（3k2+2）（b2-2）.

整理，得

（3k2-2）（3k2-b2+2）=0.

又3k2-b2+2gt;0且klt;0，

所以3k2-2=0，即k=-63.

解法2 由题意可知：|PM||QM|，|QN||PN|∈（1，+∞）.

因为f（x）=x+1x在（1，+∞）内单调递增，

由|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，得|PM||QM|=|QN||PN|，即（假设同解法1）

x1y1-x2y2=0，

x1（kx1+b）-x2（kx2+b）=0，

k（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0.

因为x1≠x2，所以k（x1+x2）+b=0.

所以k·-6kb3k2+2+b=0.

因为bgt;0且klt;0，

所以k·-6k3k2+2+1=0，

解得3k2-2=0，即k=-63.

解法3 如图1所示，取PQ的中点R，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x1+x22，y1+y22），

可得直线l的斜率k=y1-y2x1-x2，直线OR的斜率kOR=y1+y2x1+x2.

因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C：x23+y22=1上，则x213+y212=1，x223+y222=1.

两式相减整理，得y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-23.

即kOR·k=-23.

由（同解法2）可得：|PQ|+|QM||QM|=|PN|+|PQ||PN|，整理可得|QM|=|PN|，则R为MN的中点，则|OR|=|RM|，则kOR=-k.

所以kOR·k=-k2=-23.又klt;0，所以k=-63.

解法4 对椭圆C：x23+y22=1作仿射变换x′=x3，y′=y2，化椭圆为x′2+y′2=1.因为R为MN的中点（同解法3），则R′为M′N′的中点，此时O′R′∥M′N′，则△OPQ为等腰直角三角形.故k′=tan135°=-1.故k=bak′=23×（-1）=-63.

解法5 由（同解法2），当点P无限趋近于点N，当点Q无限趋近于点M时，k=-|ON|OM=-23=-63.

“一题多解”的方法为学生提供了对直线与圆锥曲线综合问题深化理解的途径，它拓宽了解题思路，增强了思维力和创新力.通过训练，学生能突破传统思维局限，探索多样化解题策略，对提升数学学习成效具有显著作用.

3.3 选择运算方法

选择合适的运算方法是“一题多解”的重要方面.面对同一问题，不同方法有其适用性，须保持头脑清醒，迅速选择合适的方法.

例3 已知π4lt;αlt;3π4且sin（α-π4）=35，则cosα=.

分析 本题是一道三角函数求值类问题，一般做法是利用公式展开已知条件，再和平方关系联立求解.但计算过程复杂，我们能否优化方法，将方程进行降次处理或将已知角视为整体处理？

解法1 因为sin（α-π4）=35，

所以sinαcosπ4-cosαsinπ4=35.

整理，得sinα-cosα=325.

又sin2α+cos2α=1，

所以（cosα+325）2+cos2α=1.

解得cosα=210或-7210.

因为π4lt;αlt;3π4，所以0lt;α-π4lt;π2.

又sinπ6lt;sin（α-π4）lt;sinπ4，

所以π6lt;α-π4lt;π4，即5π12lt;αlt;π2.

所以cosα=210.

解法2 因为sin（α-π4）=35（0lt;α-π4lt;π2），

所以cos（α-π4）=1-sin2（α-π4）=45.

即cosαcosπ4+sinαsinπ4=45.

整理，得cosα+sinα=425.

同解法1解得cosα=210.

解法3 （同解法2），则cosα=cos（α-π4+π4）=cos（α-π4）cosπ4-sin（α-π4）sinπ4=45×22-35×22=210.

选择恰当的运算方法对提升解题效率与准确性至关重要，它还能有效培育学生的数学运算素养及综合思维能力.“一题多解”不仅是深入探究数学问题的有效手段，而且在培养学生灵活运用适宜运算技巧方面发挥着关键作用.

4 结束语

本文通过深入分析和实践探索，全面阐述了“一题多解”策略在提升高中生数学运算素养方面的重要性和有效性.研究发现，多角度解题使学生更深入理解数学概念，拓宽解题思路，增强解题灵活性和应变能力.这种策略丰富了解题手段，促进了思维广度与深度，有效提升了数学运算素养.在理论上，本研究深化了对数学运算素养内涵认识，为数学教育提供新理论支持.在实践上，通过具体实例展示了“一题多解”策略应用，为教师和学生提供可行的教学和学习方法.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［责任编辑：李 璟］