把握函数图象对称本质 提高解题效率

摘 要：函数图象的对称性是函数的重要性质，是理解函数知识的关键，也是理解和感悟数学“对称美”的载体，更是数学美的具体表现形式.近几年高考数学试题中经常出现灵活性、创新性、综合性、区分性极强的函数图象对称题，对学生数学思维能力要求较高.文章以2024年全国新课标Ⅰ卷和Ⅱ卷的函数大题为切入点，总结函数图象对称性的有关结论，并强化其在解决函数问题中的应用.

关键词：函数图象对称性；解题方法；高考数学

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0091-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：王秋雨（2001.6—），女，江苏省泰州人，硕士研究生，从事中学数学教学研究.

函数作为高中数学课程内容的主线之一，是高中数学的基础和重点，在高中数学课程中占据中心地位，研究函数相关内容的学习情况对了解高中生数学的整体水平具有十分重要的意义.函数图象的对称性作为函数性质的重要部分，是函数奇偶性的推广.函数图象的对称性包括一个函数图象的对称性，也包括两个函数图象或多个函数图象之间的对称性.本文主要研究一个函数图象的对称性，包括轴对称性和中心对称性.研究函数图象对称性的本质其实就是研究点的对称，所以在求证函数图象的对称性时，可以通过描点画出函数的图象判断是否是对称图形，也可以通过计算函数相关数值之间的关系判断是否为对称图形.

1 真题呈现

例1 （2024年全国新课标Ⅰ卷第18题（2））已知函数f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

证明：曲线y=f（x）是中心对称图形.

分析 本题考查函数图象的中心对称性，求证本题的关键就是要抓住中心对称图形的概念，即图象上任意一点都关于对称中心有对应的对称点.又由于本题有定义域的限制，可先取定义域中间段上的函数点为特殊点.第一种解决方法是通过计算发现满足中心对称的定义，从而得证该曲线是中心对称图形，并且得到此特殊点就是对称中心点；第二种解决方法是取函数上某些特殊点，计算它们函数值之间的关系进行求证.

解法1 f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3的定义域为（0，2），不妨取函数上的一点M，考虑到定义域的对称性，令x=1，可得f（1）=a，点M的坐标为（1，a）.

设P（m，n）为y=f（x）图象上任意一点，P（m，n）关于点M的对称点为Q（2-m，2a-n），因为

P（m，n）在y=f（x）图象上，所以m，n满足函数y=f（x）代数式，即n=lnm2-m+am+b（m-1）3.

而f（2-m）=ln2-mm+a（2-m）+b（2-m-1）3=-［lnm2-m+am+b（m-1）3］+2a=2a-n，

所以Q（2-m，2a-n）也在y=f（x）图象上.

由于点P的任意性，可知y=f（x）图象上任意一点都关于点M（1，a）中心对称，即可知曲线y=

f（x）是中心对称图形，且对称中心为（1，a）.

解法2

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a=2f（1），

且定义域也关于x=1对称，因此y=f（x）是以

（1，a）为对称点的中心对称图形.

例2 （2024年全国新课标Ⅱ卷第11题）设函数f（x）=2x3-3ax2+1，则（" ）.

A.当a＞1时，f（x）有三个零点

B.当a＜0时，x=0是f（x）的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴

D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心

分析 本道题中C，D选项考查对函数图象对称性的研究，C选项考查函数图象的轴对称性，D选项考查函数图象的中心对称性，两选项均可以通过求函数特殊点的函数值之间的关系求解正确结论.除此之外，由于本题中的函数是三次函数，也可以利用拐点结论解决D选项中函数图象中心对称性的问题.

解析 针对C选项：假设存在这样的a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴，即存在这样的a，b，使得f（x）=f（2b-x）.

即2x3-3ax2+1=2（2b-x）3-3a（2b-x）2+1.

由于此式子中有三次项，直接计算会加大学生的计算量，可通过二项式定理进行简便求解.根据二项式结论，等式右边（2b-x）3展开式含有x3的项为2C33（2b）0（-x）3=-2x3，可见等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴，C选项错误.

针对D选项：

解法1 利用对称中心的表达式化简.

令x=1，可得f（1）=3-3a.

若存在这样的a，使得（1，3-3a）为f（x）的对称中心，则f（x）+f（2-x）=6-6a.

但事实上，f（x）+f（2-x）=2x3-3ax2+1+

2（2-x）3-3a（2-x）2+1=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a，于是就有6-6a=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a.

即12-6a=0，12a-24=0，18-12a=6-6a，解得a=2.

即存在a=2，使得（1，3-3a）为f（x）的对称中心，D选项正确.

解法2 利用拐点定理求解.

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，对原式f（x）=2x3-3ax2+1进行求导得到，f ′（x）=6x2-6ax，f ″（x）=12x-6a.

由f ″（x）=0x=a2，于是该三次函数的对称中心为（a2，f（a2））.

由题意（1，f（1））也是对称中心，故a2=1a=2，即存在a=2，使得（1，3-3a）为f（x）的对称中心，D选项正确.

2 关于函数图象对称性的相关结论

结论1 如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（a-x）=f（a+x），那么函数f（x）的图象关于直线x=a对称；

如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有

f（a-x）=-f（a+x），那么函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.

结论2 如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函数f（x）的图象关于直线x=a对称；如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x），那么函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；

如果对于函数

f（x），满足对任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x）+2f（a），那么函数f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.

结论3 如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数f（x）的图象关于直线x=a+b2对称；

如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x），那么函数f（x）的图象关于点（a+b2，0）中心对称；

如果对于函数

f（x），满足对任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x）+c，那么函数f（x）的图象关于点（a+b2，c2）中心对称[1].

结论4 定义在A上的连续可导函数f（x），满足对任意x∈A，都有函数f（x）关于x=a轴对称，则其导函数f ′（x）关于（a，0）中心对称；

定义在A上的连续可导函数f（x），满足对任意x∈A，都有函数f（x）关于（a，c）中心对称，则其导函数f ′（x）关于x=a轴对称.

结论5 若函数y=f（x）的图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期；

若函数y=f（x）的图象同时关于x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且

2|a-b|是其一个周期；

若函数y=f（x）的图象同时关于点A（a，c）成中心对称和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

3 拓展应用

例3 （2018年全国文科新课标Ⅲ卷第7题）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（" ）.

A.y=ln（1-x）"" B.y=ln（2-x）

C.y=ln（1+x）D.y=ln（2+x）

分析 此题考查的是函数图象的轴对称性问题，第一种解决方法是利用函数图象的平移和对称变换求出结果；第二种解决方法是根据轴对称性得到函数特殊点之间的关系，从而得到函数式之间的结论；第三种解决方法是根据函数图象轴对称的有关结论求解出函数值关系.

解法1 函数y=lnx关于直线x=1对称的函数图象可以通过两步画出，首先画出函数y=lnx关于y轴对称的图象，再将图象向右平移两个单位即可得出.已知函数y=lnx的图象与函数y=ln（-x）的图象是关于y轴对称，且所求函数的图象需要与y=lnx的图象关于x=1对称，因此把函数y=ln（-x）的图象向右平移两个单位可得y=ln（2-x）的图象，故选B.

解法2 设Q（x，y）是所求函数图象上的任意一点，则关于直线x=1的对称点P（2-x，y）在函数y=lnx上，将点代入函数即可得y=ln（2-x），所以选B.

解法3 利用结论2中的轴对称结论：如果对于函数f（x），满足对任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函数f（x）的图象关于直线x=a对称.从而有a=1，也就得到函数式之间的关系f（x）=f（2-x），即y=ln（2-x），故选B.

例4 （2021年全国新课标Ⅱ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（" ）.

A.f（-12）=0" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析 由f（x+2）为偶函数，根据偶函数的定义可得f（2+x）=f（2-x）.

再由结论1可知函数f（x）关于直线x=2轴对称.

由f（2x+1）为奇函数，根据奇函数的定义可得f（2x+1）=-f（-2x+1）.

再由结论1可知函数f（x）关于点（1，0）中心对称.

令x=0，可得f（1）=0.

由结论5可知，函数f（x）的周期T=4×|2-1|=4.

所以f（-1）=f（3）.

再根据函数的轴对称性可得f（3）=f（1）.

从而有f（-1）=f（3）=f（1）=0.

故选B.

例5 （2022年全国新课标Ⅰ卷第12题）已知函数f（x）及其导函数f ′（x）的定义域为R，记g（x）=f ′（x），若f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，则（" ）.

A.f（0）=0"""" B.g（-12）=0

C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

解析 因为f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，

根据偶函数的定义可得

f（32-2x）=f（32+2x），g（2+x）=g（2-x）.

由结论1可知函数f（x），g（x）的图象分别关于直线x=32，x=2对称.

又g（x）=f ′（x），由结论4可知函数g（x）的图象关于（32，0）中心对称.

故由结论5可知函数g（x）的周期

T=4×|32-2|=2.

由中心对称性得f（-1）=f（4）.

由函数g（x）的周期性可得

g（-12）=g（32）=0，g（-1）=-g（2）.

故选B，C[2].

4 巩固练习

练习1 （2021年全国高考理科数学甲卷第12题）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，

f（x+2）为偶函数，当x∈［1，2］时，f（x）=ax2+b.若f（0）+f（3）=6，则f（92）=（" ）.

A.-94 B.-32 C.74 D.52

练习2 （2018年全国新课标Ⅱ卷第11题）已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（" ）.

A.-50"" B.0"" C.2"" D.50

5 结束语学生对数学本质的认识与学生头脑中数学知识的生长、自身数学能力的发展以及数学素养的形成都有着密不可分的关系[3].在教学过程中，教师不仅要引导学生掌握解决问题的方法，更要培养学生独立思考的能力.在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的命题原则中要求“应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识”.所以，对于一些较为抽象、不易理解的知识点，教师应该深挖数学内涵，从本质出发，讲清知识来源，让学生明白知识间紧密的关联性，通过学生自己的理解转化为知识结构框架[4].这样在具体的解题过程中，学生可以从题目的条件和求证结论入手，提取出相应的知识点，利用大量的解题经验形成基本的解题思路，再配合相对应的数学结论进行求解，大大地提高了解题的质量和效率[5].教师更要鼓励学生尝试一题多解，比如在本篇文章的例题中，除了可以通过计算特殊函数值之间的关系，还可以通过二项式定理或者拐点定理等去求解问题，从不同角度去探究数学的本质，拓宽解题思路，实现数学能力的发展.

参考文献：

［1］ 张俊.从函数的奇偶性到函数图象的对称性[J].新世纪智能，2023（77）：9-11.

［2］ 徐兰，徐倩.抽像函数对称性的高三复习教学建议[J].中学数学研究，2023（09）：13-16.

［3］ 袁涛，陆娅君，张和平.探求函数对称性质 厘清函数解题思路：由一道高考题引发的“函数对称性问题”的思考[J].数学教学通讯，2023（06）：78-80.

［4］ 庞敏，肖睿，陈维杰.追根溯源 把握本质：再探函数的对称性与周期性[J].高中数理化，2023（19）：19-22.

［5］ 徐小琴，肖涵膑.高三数学复习课应把握好的三个基本维度：以“函数的对称性”的复习课为例[J].数学教学通讯，2024（06）：11-14.

［责任编辑：李 璟］