对一道抛物线试题的多视角探析

摘 要：文章对人教A版高中数学选择性必修第一册中，复习参考题中的一道抛物线试题进行多视角解答，并进行变式.

关键词：教科书；抛物线；一题多解；定点

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0044-05

教科书中的习题是教与学过程中不可或缺的一部分，它们不仅是对学生学习效果的一种检验，更是对学生知识理解和应用能力的培养.同时，这些习题还能有效地激发学生的学习兴趣和参与意识，促进其全面发展，提升学科素养.

1 试题呈现

例题 （人教A版高中数学选择性必修第一册146页复习参考题3第10题）[1]如图1，已知直线与抛物线y2=2px（pgt;0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值.

解法1 （斜率角度） 因为D（2，1），所以kOD=12.

又因为OD⊥AB，所以kAB=-2.

则直线AB的方程为y-1=-2（x-2）.

即y=-2x+5.

设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2=2px，y=-2x+5， 消x，得

y2+py-5p=0.

所以y1y2=-5p.

由OA⊥OB，所以

kOA·kOB=y1x1·y2x2

=-5p（y1y2）2/4p2=-1.

即p=54.

解法2 （向量角度）同方法1，由OA⊥OB，则

OA·OB=x1x2+y1y2

=y212p·y222p+y1y2

=254-5p=0.

即p=54.

解法3 （直接设线）设A（x1，y1），B（x2，y2），lOA的方程为y=kx，lOB的方程为y=-1kx，由y=kx，y2=2px， 得A（2pk2，2pk）.

同理得B（2pk2，-2pk）.

又因为A，B，D三点在直线lAB上，且OD⊥AB，点D的坐标为（2，1），所以有

kOD·kAB=-1，kBD·kOD=-1.

即2p/k+2pk2p/k2-2pk2=-2，1+2pk2-2pk2=-2.

解得p=54.

解法4 （参数方程角度）设A（2pt21，2pt1），B（2pt22，2pt2），又因为A，B，D三点在直线lAB上，且

OD⊥AB，点D的坐标为（2，1），所以有

kOD·kAB=-1，kBD·kOD=-1.

即2pt1-2pt22pt21-2pt22=-2，1-2pt22-2pt22=-2.

即t1+t2=-12，4pt22+2pt2-5=0.

又因为OA⊥OB，

所以t1t2=-1，解得p=54.

解法5 （反设直线）由题意设直线lAB的方程为x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my+n，y2=2px，消x，得

y2-2pmy-2pn=0.

所以y1y2=-2pn.

由OA⊥OB，所以

kOA·kOB=y1x1·y2x2

=-2pn（y1y2）2/4p2=-1.

即n=2p.

所以直线过定点T（2p，0）.

因为A，B，D三点在直线lAB上，且OD⊥AB，点D的坐标为（2，1），所以有

kOD·kTD=-1，

即1-02-2p=-2，解得p=54.

解法6 （点到直线的距离）由解法5可得

n=2p.

又因为点O的坐标为（2，1），OD⊥AB，所以直线lAB的方程为

x-（2-2p）y-2p=0.

所以点O到直线lAB的距离为

d=2p1+（2-2p）2=5，

解得p=54.

解法7 （利用点差法）

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为T（x0，y0），则y21=2px1，y22=2px2.

则（y1-y2）（y1+y2）x1-x2=2p.

由OD⊥AB，可得y0=-p2.

又因为OA⊥OB，所以

y1y2x1x2=y1y2y21y22/4p2-1.

即y1y2=-4p2.

所以2p（x1+x2）=（y1+y2）2-2y1y2.

则x0=9p4.

所以T（9p4，-p2）.

所以kTD·kOD=12×1+p/22-9p/4=-1，

解得p=54.

解法8 （利用齐次化）

设AB：x=my+n，①

A（x1，y1），B（x2，y2），kOA=y1x1，kOB=y2x2，

将直线变形为x-myn=1，代入到y2=2px中，得

y2=2px·x-myn

=2px2-2pmxyn.

两边同除以x2，整理可得

n（yx）2+2pm·yx-2p=0.

注意到kOA=y1x1，kOB=y2x2，所以kOA和kOB是方程n（yx）2+2pm·yx-2p=0的两个根，即

kOA·kOB=-2pn.

又因为OA⊥OB，

所以-2pn=-1.

则n=2p.

代入①可得x=my+2p.

所以直线AB恒过定点（2p，0）．

下同解法5.

解法9" （利用点乘双根法）设

A（x1，y1），B（x2，y2），

AB：x=my+n，①

则OA=（x1，y1），OB=（x2，y2）.

所以OA·OB

=x1x2+y1y2

=（my1+n）（my2+n）+y1y2

=m2（y1+nm）（y2+nm）+y1y2.②

联立x=my+n，y2=2px， 得

y2-2pmy-2pn=0.

又因为y1和y2是方程y2-2pmy-2pn=0的

两根，

所以y2-2pmy-2pn=（y-y1）（y-y2）.

令y=0，则-2pn=y1y2;③

令y=-nm，则n2m2=（y1+nm）（y2+nm）.④

将③④代入②，得m2·n2m2-2pn=0.

即n=2p.

代入x=my+n可得x=my+2p.

所以直线AB恒过定点（2p，0）．

下同解法5.

2 附加值

通过以上的解答过程，我们发现有以下结论：

如图2，已知抛物线y2=2px，过原点且相互垂直的直线OA，OB交抛物线于A，B两点，直线AB过定点（2p，0）．（证明略）

图2 附加值图

3 变式

下面变式以三种圆锥曲线试题呈现，提供解答路径，限于篇幅不拓展一般性结论，请读者自行探究.

变式1 抛物线E的准线方程为y=-14，抛物线E上的三个点A，B，C构成一个以B为直角顶点的直角三角形．

（1）求拋物线E的标准方程；

（2）若点B坐标为（1，1），证明：直线AC过定点.

解析 （1）拋物线E的标准方程为y=x2.

（2）设点A，C的坐标分别为（x0，x20），（x1，x21），直线AC的方程为y=mx+b，联立y=x2，y=mx+b，得x2-mx-b=0，显然Δgt;0，所以x0+x1=m，x0x1=-b.

因为A，B，C构成一个以B为直角顶点的直角三角形，则kBA·kBC=-1.

所以x21-1x1-1×x20-1x0-1=-1.

即x0+x1+x0x1+2=0.

所以m-b+2=0，即b=m+2.

即直线AC的方程为

y=mx+b=mx+m+2=m（x+1）+2.

当x=-1时y=2，

所以直线AC过定点（-1，2）.

变式2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为32，右顶点为A（2，0）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线m（不与x轴重合）与椭圆C交于M，N两点，且点A在以MN为直径的圆上．证明：直线m过定点，并求出该定点坐标．

解析 （1）椭圆C的标准方程为x24+y2=1.

（2）由题意设直线m为x=ty+n，设M（x1，y1），N（x2，y2），由x24+y2=1，x=ty+n， 得

（t2+4）y2+2tny+n2-4=0.

由Δ=4t2n2-4（t2+4）（n2-4）gt;0，得

t2-n2-4gt;0，

y1+y2=-2tnt2+4，y1y2=n2-4t2+4.

因为点A在以MN为直径的圆上，如图3，所以AM·AN=0.

因为AM=（x1-2，y1），AN=（x2-2，y2），

所以（x1-2）（x2-2）+y1y2=0.

所以x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0.

即（ty1+n）（ty2+n）-2（ty1+n+ty2+n）+

4+y1y2=0.

所以（t2+1）y1y2+（nt-2t）（y1+y2）+n2-4n+4=0.

所以（t2+1）·n2-4t2+4+（nt-2t）·-2tnt2+4+n2-4n+4=0.

所以（t2+1）（n+2）（n-2）-2t2n（n-2）+（n-2）2（t2+4）=0.

化简整理，得（n-2）（5n-6）=0，

解得n=2或n=65.

所以直线m为x=ty+2，或x=ty+65.

所以直线m过定点（2，0）或（65，0）.

变式3 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦点为F（2，0），且过点（-5，63）．

（1）求双曲线E的方程；

（2）过点F作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，直线l1交双曲线E于A，B两点，直线l2交双曲线E于C，D两点，点M，N分别是AB，CD的中点，若l1⊥l2，试判断直线MN是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

解析 （1）双曲线E的方程是x23-y2=1.

（2）直线l1的方程为y=k1（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由x23-y2=1，y=k1（x-2）， 得

（1-3k21）x2+12k21x-12k21-3=0.

所以x1+x2=-12k211-3k21，x1x2=-12k21-31-3k21.

所以x0=x1+x22=-6k211-3k21.

所以y0=k1（x0-2）=-2k11-3k21.

所以M（-6k211-3k21，-2k11-3k21）.

同理可得N（-6k221-3k22，-2k21-3k22）.

因为l1⊥l2，所以k1k2=-1.

即k2=-1k1.

当k≠1且k≠-1时，

kMN=2k1/（1-3k21）-2k2/（1-3k22）-6k21/（1-3k21）+6k22/（1-3k22）

=-2k13（k21-1）.

所以直线MN的方程为

y+2k11-3k21=-2k13（k21-1）（x+6k211-3k21）.

即y+2k11-3k21=-2k13（k21-1）x-2k13（k21-1）·6k211-3k21.

即y=-2k13（k21-1）x-2k13（k21-1）·6k211-3k21-2k11-3k21

=-2k13（k21-1）x-2k11-3k21［6k213（k21-1）+1］

=-2k13（k21-1）x-2k11-3k21·3（3k21-1）3（k21-1）

=-2k13（k21-1）x+6k13（k21-1）.

所以y=-2k13（k21-1）（x-3）.

所以直线MN过定点（3，0）.

当k=1或k=-1时，直线MN的方程为x=3，所以直线MN过定点（3，0）．

综上，直线MN过定点（3，0）．

4 结束语

总之，圆锥曲线问题的探究与变式涉及解析式的推导、几何条件的运用、最值问题的解决，以及变换对几何形状的影响等多方面的考量.掌握基本公式和解题技巧后，逐步增加题目的复杂度，如探索变换对形状的影响和平移的效果，能够增进对圆锥曲线性质的理解，并提高解决更复杂几何问题的能力.

参考文献：

［1］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.

普通高中教科书数学选择性必修第一册：A版[M]．北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李 璟］