对一道竞赛题的多视角探究

摘 要：同角三角函数的基本关系揭示了sinθ，cosθ，tanθ之间的基本关系，知一求二.若已知三角函数之间的关系式，求其他的三角函数问题，可以利用平方关系或者商的关系等价变形求解，也可以根据式子的结构特征构造几何图形求解.解答过程渗透函数与方程、转化与化归、数形结合的思想方法，考查数学运算、数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养.

关键词：基本关系；等价变形；知识整合；几何直观

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0022-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：李波（1991—），男，四川省仪陇人，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

2016年江苏省高中生数学竞赛试题是一道已知三角函数之间的关系式，求其他的三角函数问题.笔者仔细研读，根据已知条件、代数结构及三角恒等变换公式，从“代数”与“几何”两大方向给出了10种解法，考查了同角三角函数基本关系、三角恒等变换、解三角形、直线与方程、数列等知识，以达到发散思维，构建知识结构的作用.

1 题目呈现

题目 已知1sinθ+1cosθ=3512，θ∈（0，π2），求tanθ.2 解法探究

2.1 消元思想

解法1 因为（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，

所以sinθcosθ=（sinθ+cosθ）2-12.

由1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，知

12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ.

所以12（sinθ+cosθ）=35·（sinθ+cosθ）2-12.

解得sinθ+cosθ=75.

又sin2θ+cos2θ=1，易知

sinθ=35，cosθ=45或sinθ=45，cosθ=35.

所以tanθ=34或tanθ=43.

解法2 令t=sinθ+cosθ，t∈（1，2］，由1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，知sinθcosθ=1235t.

因为（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，

所以t2=1+2×1235t.

整理，得35t2-24t-35=0，

解得t=75或t=-75（舍）.

即sinθ+cosθ=75.

以下同解法1.

解法3 由题知（1sinθ+1cosθ）2=（3512）2，即

1sin2θ+1cos2θ+2sinθcosθ=（3512）2.

整理，得（1sinθcosθ）2+2sinθcosθ-（3512）2=0，

解得sinθcosθ=1225.

因为sinθcosθ=

sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

本题隐藏了一个重要的信息sin2x+cos2x=1，该等式的左边为2次，右边为常数1，为此可以考虑“1”代换.但等式1sinθ+1cosθ=3512左边分子为0次，分母为1次，如果直接“1”代换，不能保证得到齐次式，因此，在“1”代换之前，考虑先平方.

2.2 “1”为代换

解法4 由题知（1sinθ+1cosθ）2（sin2θ+cos2θ）=（3512）2，即

（1sin2θ+1cos2θ+2sinθcosθ）（sin2θ+cos2θ）=（3512）2.

展开，得

（tanθ+1tanθ）2+2（tanθ+1tanθ）-（3512）2=1，

解得tanθ+1tanθ=2512.

易知tanθ=34或tanθ=43.

评析" “1”在中学数学中有很重要的应用，sin2θ+cos2θ=1主要是方便对式子变形，而其他等于1的整式或分式主要是为使用均值不等式创造条件.本题充分利用结论 sin2θ+cos2θ=1来实现已知sinθ，cosθ关系，向未知tanθ的转化.

2.3 万能公式

解法5 由万能公式知

sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，

其中t=tanθ2∈（0，1），θ∈（0，π2）.则1+t22t+1+t21-t2=1.

整理，得6t4-47t3+23t-6=0.

由6的因子为1，2，3，6，t∈（0，1），所以上述方程的根可能为16，13，12，23，易知13，12是上述方程的根，由带余除法定理，得

6t4-47t3+23t-6=（t-12）（t-13）（t-7-712）（t-7+712）.

由t∈（0，1）知，仅13，12是上述方程的根，即tanθ2=13，12.

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.4 等差数列

解法6 由1sinθ+1cosθ=3512，知1sinθ，3524，1cosθ为等差数列.

可设1sinθ=3524-d，1cosθ=3524+d，则

sinθ=135/24-d，cosθ=135/24+d.

因为θ∈（0，π2），

所以sinθ，cosθ∈（0，1）.

易知d∈（-1124，1124）.

由sin2θ+cos2θ=1，知

1（35/24+d）2+1（35/24-d）2.

整理，得d4-3 602576d2+1 225576×73576=0.

分解因式，得

（d2-25576）（d2-3 577576）=0.

因为d∈（-1124，1124），所以d=±524.

易知sinθ=35，cosθ=45或sinθ=45，cosθ=35.

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.5 分式换元为整式

解法7 设x=1sinθ，y=1cosθ，则1x2+1y2=1.

即x2+y2=x2y2.

由x+y=3512，x2+y2=x2y2，得

（xy）2+2xy-（3512）2=0，

解得xy=2512［1］.

即1sinθcosθ=2512.

因为sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

评析 换元法是高中数学解题中的一种重要方法，换元的方法多种多样，千差万别，目的是将复杂的问题简单化

、抽象的问题形象化、分式问题整式化、无理问题有理化，这需要我们具备较强的观察能力、逻辑思维能力、联想能力.本题通过巧妙的换元、适当的化简，实现分式问题整式化.

2.6 构造直角三角形，利用内切圆的性质

如图1，在△ABC中，内切圆半径r=2Sa+b+c.

图1 内切圆半径与边的关系

特别地，当△ABC为直角三角形时，AF=AC-CE=AC-r；BF=BC-CD=BC-r，所以AB=AF+BF=AC-r+BC-r=a+b-2r，

解得r=12（a+b-c）.

解法8" 如图2所示，构造Rt△ABC，CA⊥CB，CH⊥AB，记CH=1，∠BAC=θ，由图2知AC=1sinθ，BC=1cosθ，AB=1sinθcosθ.

图2 解法8的示意图

则r=12（1sinθ+1cosθ-1sinθcosθ）

=12（3512-1sinθcosθ）.

又△ABC的面积

S=12·1sinθ·1cosθ=12sinθcosθ，

r=2SAC+BC+AB=1/（sinθcosθ）35/12+1/（sinθcosθ），

即12（3512-1sinθcosθ）=1/（sinθcosθ）35/12+1/（sinθcosθ）.

整理，得（1sinθcosθ）2+2sinθcosθ-（3512）2=0.

以下同解法3.

评析" 充分利用三角函数的定义构造直角三角形，实现代数问题几何化，形象直观，同时也很好地体现了数形结合的思想.

2.7 构造直角三角形，利用切割法

解法9 因为1sinθ+1cosθ=3512，θ∈（0，π2），所以构造直线方程1sinθy-1cosθx-3512=0，易知该直线过定点（-1，1），如图3，根据等面积法，由图易知，

图3 解法9的示意图

S△AOB=S△ACD+S△BCE+S矩形OECD.

即12×3512sinθ×3512cosθ=12×1×tanθ+12×

1×1tanθ+1×1.

整理，得（3512）2（sinθcosθ）2-2sinθcosθ-1=0，

解得sinθcosθ=1225.

因为sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.8 构造直线，巧用射影定理

解法10" 如图4所示，构造直线ysinθ+xcosθ=0，则点C（1，1）到该直线的距离

|CD|=|1/sinθ+1/cosθ|1/sin2θ+1/cos2θ=3512sinθcosθ.

由图4知|BF|=tanθ，|BC|=tanθ+1，

|BD|=|BC|·sinθ=sin2θ+sinθcosθcosθ.

同理可得|AD|=cos2θ+sinθcosθsinθ.

在△ABC中运用射影定理，有

|CD|2=|AD|·|BD|.

代入上式，得

（3512sinθcosθ）2=cos2θ+sinθcosθsinθ·sin2θ+sinθcosθcosθ.

整理，得

（3512sinθcosθ）2=1+2sinθcosθ，

解得sinθcosθ=1225.

以下同解法3.

评析 根据1sinθ+1cosθ=3512形式上的特点，很容易联想到构造过定点的直线，或者运用点到直线的距离公式来寻找几何关系解决问题.不少代数问题都有几何背景.挖掘这些几何特征，“以形助数”能让问题的解决更直观简捷，也体现了命题人“多一点想，少一点算”的指导思想.

3 结束语

数学解题历程是一项富有挑战性的过程，因为艰辛，所以难忘.一题多解，不仅可以丰富学生的解题视野，增强处理数学问题的能力，同时也可以进一步构建学生已有的知识体系.以上10种解法，涉及数列、直线、多项式、函数与方程、三角形、方程组等诸多知识，用到了构造、换元等重要方法，渗透了数形结合、函数与方程等核心思想.

参考文献：

［1］李波.立足教材探新解，优化认知提素养[J].数理化解题研究，2024（13）：25-30.

［责任编辑：李 璟］