新发现的“三垂足定理”新的证明

文[1]遵循原始的发现过程，给出了笔者独立发现且命名为“三垂足定理”的分类证明，而今另辟蹊径，又找到定理新的证明，且对定理的表述有所改进.

先重温圆锥曲线的统一方程：

如图1，过点M作MN⊥准线EG交于点N，设F为相应于准线的焦点，e为离心率，则M∈{M｜|FM|=e|MN|}.

取过焦点F且与准线垂直的直线为x轴，点F（O）为坐标原点，建立平面直角坐标系.

设点M的坐标为（x，y），则|OM|=x2+y2.设准线EG的方程为x=-p，于是

x2+y2=e|x+p|.

两边平方，化简得

（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0.①

三垂足定理：任取圆锥曲线上一点为切点作切线，过切点作焦点所在坐标轴的垂线得垂足Ⅰ，过焦点作切线的垂线得垂足Ⅱ，相应于焦点的准线与坐标轴的交点为垂足Ⅲ，则

（1）三个垂足以垂足Ⅱ为顶点张成直角；

（2）垂足Ⅱ到垂足Ⅰ、垂足Ⅲ、切点、焦点的距离成比例.

如图2，坐标系的建立如上所述.示意图

任取圆锥曲线上的一点P作切线PL，又作PH⊥x轴于点H（垂足Ⅰ），过焦点F作FQ⊥PL于点Q（垂足Ⅱ），准线EG交x轴于点G（垂足Ⅲ）.

求证：

（1）∠HQG=90°;

（2）|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

证明：设点P坐标为（x0，y0），对上述圆锥曲线方程①求导，得（1-e2）x+yy′－pe2=0.

解得y′=pe2－（1－e2）xy.

于是，在点P（x0，y0）处的切线PL的斜率为kPL=pe2－（1－e2）x0y0，所以切线PL的方程为

y－y0=pe2－（1－e2）x0y0（x－x0）.

整理，得

y0y=（pe2-x0+e2x0）x+（1-e2）x20+y20-pe2x0.②

由点P在圆锥曲线上，得（1-e2）x20+y20-2pe2x0-p2e2=0，即

（1-e2）x20+y20=2pe2x0+p2e2.③

③代入②式，得切线方程为

y0y=（pe2-x0+e2x0）x+pe2x0+p2e2.④

将④式与准线方程联立，得

x=－p，y0y=（pe2－x0+e2x0）x+pe2x0+p2e2.

解得

x=－p，y=px0y0.

所以交点S的坐标为-p，px0y0.

以下进行分类讨论：

（ⅰ）当x0>0时，如图3，已知FQ⊥PL于点Q，准线EG⊥x轴于点G.

已设PQ交EG于点S，于是∠SGF+∠SQF=180°，所以G，S，Q，F四点共圆，连接FS，则∠GQS=∠GFS.连接FP，又PH⊥x轴于点H，则∠PQF+∠PHF=180°，所以Q，P，H，F四点共圆，则∠HQF=∠HPF.

因为tan∠HPF=|FH||PH|=|x0||y0|，

又tan∠GFS=|GS||GF|=px0y0|－p|=|x0||y0|，

且∠HPF与∠GFS均为锐角，所以∠HPF=∠GFS.

所以∠HQF=∠GQS.

所以∠HQF+∠FQG=∠GQS+∠FQG.

所以∠HQG=∠FQS=90°，结论（1）成立.

又由Q，P，H，F四点共圆，得∠GHQ=∠FPQ（同弧上的圆周角相等），

于是Rt△HQG∽Rt△PQF.

所以|QH|∶|QP|=|QG|∶|QF|.

故|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅱ）当x0=0时，如图4，此时点P在y轴上，点H与点F重合.

将x0=0代入切线方程④，得

y0y=pe2x+p2e2.

所以点G（-p，0）满足此方程，则切线过点G.

由FQ⊥PL，得∠HQG=90°，故结论（1）成立.

在Rt△GFP中，根据射影定理，可得|QF|2=|QP|＼5|QG|，即|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅲ）当x0<0时，如图5，P不是圆锥曲线的顶点.

由∠SQF=∠SGF=90°，知

S，G，Q，F四点共圆.连接FS，有∠GQS=∠GFS.

又∠PHF=∠PQF=90°，所以

Q，P，F，H四点共圆.

连接FP，则

有∠HQF=∠HPF.

因为tan∠HPF=|FH||PH|=|x0||y0|，

tan∠GFS=|GS||FG|=0－px0y0|0－（－p）|=|x0||y0|，

且∠HPF与∠GFS均为锐角，所以∠HPF=∠GFS.

所以∠HQF=∠GQS.

又∠FQS=90°，则

∠HQG=90°，故结论（1）成立.

由Q，P，F，H四点共圆，得

∠GHQ=∠FPQ（圆内接四边形的外角等于内对角）.

于是，Rt△HQG∽Rt△PQF.

所以|QH|∶|QP|=|QG|∶|QF|.

故|QH|∶|QG|=|QP|∶|QF|.

（ⅳ）若切点P是圆锥曲线的顶点，如图6，则易知点H，点Q都与点P重合，则QH=0.

因零向量的方向是任意的，即零向量可视为与任意一个非零向量共线，设点T在切线PL上，则零向量QH与非零向量PT共线，且QG⊥PT，即QG⊥QH，所以∠HQG=90°，故结论（1）成立.

又|QP|=|QH|=0，且|QF|≠0，|QG|≠0，

故欲证式（2）两边皆为零而依然成立.

上述定理的证明过程有一个鲜明的特征，那就是欧氏几何的综合法与笛卡儿的解析法渗透融合［2］，两种数学思想方法交互为用，相得益彰，相映成趣，同时，还有三角函数、导数的几何意义和向量的运用，从而使定理的证明臻于简洁、完美.

由于圆锥曲线是任意的，切点的选择也是任意的，故三垂足定理显示了它的普适性.仔细品味过后，还让人深切感受到：其普适性既深刻揭示了圆锥曲线统一的属性，又蕴含着数形结合的精巧美与和谐美.

发现新定理使我们得到如下启示：数学教师不仅是知识的传授者，也是数学宝库的探索者和发现者，

试想，若中学和大学有万分之一的数学教师独自发现一个数学定理，则著名的钱学森之问的答案岂不就指日可待了吗？

从单一角色到双重角色的转换，非常有利于教师在认知状态上贴近学生，避免有居高临下感的教师将学生的大脑当成装知识的容器.对于满怀好奇心的学生来说，任何未知的学问都极具探索意义和发现价值，当教师以这种创新的心理引导学生钻研时，强大的感染力与可贵的好奇心高度融合，使命感油然而生，学生的数学思维之花必将竞相绽放，在其潜意识里，一生的兴趣和追求或许已经构筑在数学的背景之下.

创新型人才的脱颖而出，有赖于一以贯之的发现思维能力的培养[3].教师在教学中从学生的实际出发，视教材为“发现读本”，精心设计并引导和激励学生发现、表述、探究数学问题，与学生一起分享发现的快乐，无疑是数学教学改革的一个突破口.这件事抓好了，诸如“题海战术”之类的教学现状就会有较大的改观.

参考文献：

[1]朱仁发.圆锥曲线的一个新发现——三垂足定理［J］.中学数学，2014（9）：67-68.

[2]朱仁发.渗透数学思想 促进融会贯通——解析几何复习之我见［J］.数学通

讯（武汉），1993（11）：18-21.

[3]朱仁发.试谈发现思维能力的培养［J］.中学数学，1992（11）：5-6.