应用场景巧创设，函数问题妙同构

摘要：同构是解决数学问题中比较特殊的一种思维方式，是构造法的一种特殊技巧，在历年高考数学命题中都有其“影踪”，倍受命题者的青睐.结合不同的应用场景与条件创设，以不同的方式来实现函数问题的巧妙同构，借助实例剖析，归纳总结同构应用的常见类型，以及解题技巧与方法，指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；同构；变量；恒成立；不等式

在解决一些函数与导数的综合应用问题时，经常借助题设条件中的代数关系式、函数与方程、不等式等问题中对应关系式的结构特征，合理恒等变形与等价转化，找出对应等式（或不等式）两边所具有的共性或同型，借助相同结构的代数式来巧妙同构函数，进而利用新函数的基本性质（奇偶性、单调性、最值等）来综合转化并处理相关的综合应用问题，实现问题的转化与突破.

1 变量分离同构

在涉及多变量的代数关系式、函数与方程、不等式等问题中，变量分离同构经常被采用.其实质是借助变量的合理分离与巧妙转化，通过在等式（或不等式）两边配凑相同的变量，以方便进一步的同构函数与应用.

例1（1）若0＜x1＜x2＜a时，x2ln x1－x1＼5ln x2≤x1－x2恒成立，则a的最大值为（）.

A.12

B.1

C.e

D.2e

（2）若对任意的x1，x2∈[－2，0），且x1＜x2，x2ex1－x1ex2x1－x2＜a恒成立，则a的最小值为（）.

A.－3e2

B.－2e2

C.－1e2

D.－1e

解析：（1）由x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，变形整理得ln x1x1－ln x2x2≤1x2－1x1，即ln x1x1+1x1≤ln x2x2+1x2恒成立.

同构函数f（x）=ln xx+1x，x>0，结合0＜x1＜x2＜a可知，函数f（x）在（0，a）上为增函数，所以f′（x）≥0在（0，a）上恒成立.

由于f′（x）=－ln xx2，令f′（x）=0解得x=1，因此函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数.

所以a≤1，即a的最大值为1.

（2）依题意，因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，则x2ex1－x1ex2x1－x2＜a可转化为x2ex1－x1ex2＞a（x1－x2），整理得x2ex1+ax2＞x1ex2+ax1.因为x1x2＞0，所以ex1x1+ax1＞ex2x2+ax2.

同构函数f（x）=exx+ax，x∈[－2，0），结合x1＜x2可知，函数f（x）在[－2，0）上单调递减，所以f′（x）=ex（x－1）－ax2≤0在[－2，0）上恒成立，所以ex（x－1）≤a在[－2，0）上恒成立.

令函数g（x）=ex（x－1），则g′（x）=ex（x－1）+ex=xex＜0在[－2，0）上恒成立，则g（x）=ex（x－1）在[－2，0）上单调递减，所以g（x）≤g（－2）=－3e2.

则a≥－3e2，即a的最小值为-3e2.

点评：变量分离同构往往用于解决涉及双变量的综合应用问题.借助题设条件中的代数关系式、函数与方程、不等式等，通过合理的移项、同乘或同除、系数配凑等方式来运算与变形，巧妙将同一变量的关系式转换到等式（或不等式）的同一边，通过观察等式（或不等式）两边中对应关系式的相同结构特征，合理寻找并同构对应的函数来分析与应用.

2 指对跨阶同构

在涉及指对混合的代数关系式、函数与方程、不等式等问题中，往往离不开指对跨阶同构.其实质是灵活运用对数恒等式a=eln a（a>0），a=ln ea等进行变形，结合和、差、积、商等不同形式的运算类型来合理同构函数，给解题与应用创造条件.

例2（1）已知f（x）=x+e-x，g（x）=xa－aln x（a＜0），若f（x）≥g（x）在（1，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）.

A.－2e

B.－e

C.－e

D.－e2

（2）当x>0时，ae2x≥lnxaex恒成立，则a的取值范围为（）

A.0，12ee

B.0，1e

C.1e，+∞

D.12e，+∞

解析：由（1）f（x）≥g（x），得－x－e-x≤aln x－xa，则ln e-x－e-x≤ln xa－xa，即ln xa－xa≥ln e-x－e-x在x∈（1，+∞）上恒成立.

当x∈（1，+∞），a＜0时，0＜xa＜1，0＜e-x＜1.

同构函数h（t）=ln t－t（0＜t＜1），则h′（t）=1t－1＞0，所以h（t）在（0，1）上单调递增，故有xa≥e-x，则a≥logxe-x=－xln x在x∈（1，+∞）上恒成立.

令函数F（x）=－xln x（x＞1），则F′（x）=1－ln xln 2x，令F′（x）=0，解得x=e.所以当1＜x＜e时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增；当x＞e时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减.所以F（x）max=F（e）=－e.

所以a≥－e，即实数a的最小值为－e.

（2）当x>0时，ae2x≥lnxaex恒成立，则有ae2x≥lnxaex=ln x－ln a－x在（0，+∞）上恒成立，即eln a+2x+ln a+2x≥eln x+ln x在（0，+∞）上恒成立.

同构函数f（x）=ex+x，x>0，则f′（x）=ex+1>0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增.

所以ln a+2x≥ln x在（0，+∞）上恒成立，即ln a≥ln x－2x在（0，+∞）上恒成立.

设函数g（x）=ln x－2x，x>0，可得g′（x）=1x－2=1－2xx，令g′（x）=0解得x=12.所以当x∈0，12时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增；当x∈12，+∞时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减.

所以g（x）max=g12=ln12－1=ln12e.

所以ln a≥ln12e，解得a≥12e.

点评：指对跨阶同构往往用于解决涉及指数函数ex与对数函数ln x的相关“指对”混合等式（或不等式）的综合应用问题.解题时，关键是借助“指对”混合等式（或不等式）加以恒等变形，侧重于研究指数或对数，目的都是寻找同型或共性，为合理同构函数创造条件.利用指对跨阶同构解题时，不同视角的变形对应不同的同构函数形式，往往同构函数并不单一，虽方式各异，但殊途同归.

3 放缩变形同构

在涉及指数或对数等式（或不等式）的综合问题中，直接利用指对跨阶同构有时无法达到目的，需要借助重要的切线不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立），ln x≤x－1（当且仅当x=1时等号成立），以及不等式的基本性质等加以合理放缩处理，在此基础上再加以巧妙同构与应用.

例3已知实数a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e为自然对数的底数，则（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由于a，b∈（1，+∞），2（a+b）=e2a+2ln b+1，移项并变形可得e2a－2a+1=2b－2ln b.

结合基本不等式可得2b－2ln b<b2+1－2ln b=b2－ln b2+1〔这里由于b∈（1，+∞），取不到等号〕.

再结合重要的切线不等式可得2b－2ln b=（b－ln b）+（b－ln b）>b－ln b+1（这里同样也取不到等号）.

所以eln b－ln b+1=b－ln b+1<e2a－2a+1=2b－2ln b<b2－ln b2+1=elnb2－ln b2+1.

同构函数f（x）=ex－x－1，x>0，则以上不等式等价于f（ln b）<f（2a）<f（ln b2）.

由f′（x）=ex－1>0知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以有ln b<2a<ln b2，即b<e2a<b2，可得ea<b.

综合可得ea<b<e2a.

点评：放缩变形同构往往用于解决一些涉及“指对”混合且更为复杂的等式（或不等式）的综合应用问题.基于解决“指对”混合的指对跨阶同构无法直接达到目的，如果借助重要的切线不等式以及其他不等式的基本性质（基本不等式等）进行放缩变形处理，可以更加便捷地寻找等式（或不等式）的同型或共性，为进一步的同构函数与应用创造条件.

利用同构函数处理一些函数与导数的综合应用问题时，其实质就是通过题目中的代数关系式、函数与方程、不等式等的等价变形，使得对应等式（或不等式）的两边的关系式结构相同或相似，进而将问题看成同一个函数的两个不同函数值问题，借助同构函数来突破对应的等式（或不等式）问题，使问题得以巧妙解决.正是通过同构函数法，在深入掌握代数变形与转化的同时，进一步理解并掌握数学思想与方法，养成敏锐的观察能力，有效提升数学品质，提高思维能力.